Witam.
Mam tutaj takie jedno życiowe zadanko...
Kieliszek ma kształt stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym.
Oblicz, do jakiej wysokości należy napełnić kieliszek winem aby objętość wina była równa połowie pojemności kieliszka, w obliczeniach przyjmij że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 0,8}\)
Dziękuje i pozdrawiam
Kieliszek ma kształ stożka....
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Kieliszek ma kształ stożka....
x - wysokość do której należy wino,
y - średnica kieliszka na wysokości x,
a - bok trójkąta równobocznego w przekroju,
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{a} \\ \frac{x}{y}=\frac{\sqrt3}{2} \\ y=\frac{2\sqrt3 x}{3} \\ \frac{1}{2}y=\frac{x\sqrt3}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\pi (\frac{a}{2})^2\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{1}{3}\pi (\frac{x\sqrt3}{3})^2\cdot x \\ \frac{a^3\sqrt3}{16}=\frac{x^3}{3} \\ x=a\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{16}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{a\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{16}}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\sqrt[3]{\frac{\frac{3\sqrt3}{18}}{\frac{3\sqrt3}{8}}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\approx 0,8}\)
Zatem kieliszek należy wypełnić do 0,8 jego wysokości.
y - średnica kieliszka na wysokości x,
a - bok trójkąta równobocznego w przekroju,
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{a} \\ \frac{x}{y}=\frac{\sqrt3}{2} \\ y=\frac{2\sqrt3 x}{3} \\ \frac{1}{2}y=\frac{x\sqrt3}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\pi (\frac{a}{2})^2\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{1}{3}\pi (\frac{x\sqrt3}{3})^2\cdot x \\ \frac{a^3\sqrt3}{16}=\frac{x^3}{3} \\ x=a\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{16}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{a\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{16}}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\sqrt[3]{\frac{\frac{3\sqrt3}{18}}{\frac{3\sqrt3}{8}}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\approx 0,8}\)
Zatem kieliszek należy wypełnić do 0,8 jego wysokości.