walec i prostopadłościan

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
jesion1995
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 15 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

walec i prostopadłościan

Post autor: jesion1995 »

W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstawy kąty alfa i beta. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu to objętości walca.
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

walec i prostopadłościan

Post autor: Mortify »

\(\displaystyle{ a,b}\) - krawędzie podstawy prostopadłościanu
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość prostopadłościanu = wysokość stożka

\(\displaystyle{ a=\cos{\alpha}\cdot d}\)
\(\displaystyle{ b=\cos{\beta}\cdot d}\)

\(\displaystyle{ V_p=a\cdot b \cdot H = d^2\cdot H \cdot \cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}}\)

\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy stożka

\(\displaystyle{ (2r)^2=a^2+b^2 \\ 4r^2=a^2+b^2 \\ r^2= \frac{1}{4} (d^2 \cos^2{\alpha} + d^2\cos^2{\beta}) \\ P_{\text{podst stozka}} = \pi r^2 = \frac{\pi}{4} d^2 (\cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta}) \\ V_s = P_{\text{podst stozka}} H = \frac{\pi}{4} d^2 (\cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta}) \cdot H \\ \frac{V_p}{V_s} = \frac{d^2\cdot H \cdot \cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}}{ \frac{\pi}{4} d^2 (\cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta}) \cdot H} = \frac{4 \cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}}{\pi (\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta})}}\)
jesion1995
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 15 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

walec i prostopadłościan

Post autor: jesion1995 »

W odpowiedziach mam napisane że w liczniku powinno być 4\(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta}\). Mianownik się zgadza.-- 7 kwi 2014, o 20:15 --i po głębszym zastonowieniu tak policzyłeś tylko w ostatecznym wyniku jest błąd. Jednak bardzo dziękuję za zrobienie zadania.
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

walec i prostopadłościan

Post autor: Mortify »

A tak, sorki za tę literówkę z kwadratami. Oczywiście powinno być bez kwadratów, czyli zgodnie z odpowiedzią.
ODPOWIEDZ