Kula wpisana w ostrosłup pawidłowy trójkątny

werix7 · Post autor: **werix7** » 27 mar 2014, o 17:17

Oblicz pole kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a i kącie między ścianą boczą i podstawą o mierze 60°.

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 27 mar 2014, o 17:27

Najpierw wyznacz wysokość ściany bocznej znając związki pomiędzy bokami a kątami w trójkącie 30-60-90. Dolna podstawa tego trójkąta to $\displaystyle{ \frac{1}{3}}$ wysokości podstawy.

Oblicz pole ściany bocznej i zauważ że ostrosłup można rozbić na sumę czterech mniejszych ostrosłupów o podstawach będących ścianami wyjściowego ostrosłupa i wysokościach $\displaystyle{ R}$ - promień kuli wpisanej. Wystarczy porównać tak liczoną objętość dużego ostrosłupa (jako sumę objętości mniejszych) z podejściem klasycznym.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 27 mar 2014, o 18:07

jarek4700 pisze:Najpierw wyznacz wysokość ściany bocznej znając związki pomiędzy bokami a kątami w trójkącie 30-60-90. Dolna podstawa tego trójkąta to $\displaystyle{ \frac{1}{3}}$ wysokości podstawy.

Domyślam się, o jaki trójkąt Ci chodzi, ale nie lepiej będzie poprowadzić dwusieczną kąta $\displaystyle{ 60^{\circ}}$ i w ten sposób od razu otrzymać mniejszy trójkąt, w którym jefen z boków będzie promieniem kuli wpisanej?

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 27 mar 2014, o 18:17

Tak będzie szybciej, dawno już nic nie robiłem ze stereometrii.

werix7 · Post autor: **werix7** » 27 mar 2014, o 18:33

jarek4700 pisze:Tak będzie szybciej, dawno już nic nie robiłem ze stereometrii.

Pole ściany bocznej wyszło mi $\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}}$. Dobrze? Mógłby ktoś rozwiązać krok po kroku te zadanie bo jestem dopiero w 1 klasie technikum i nie miałam jeszcze tych tematów.

jarek4700 · Post autor: **jarek4700** » 27 mar 2014, o 19:08

W sumie to jednak miałem na myśli że szybciej będzie tak jak zaproponował norwimaj

werix7 · Post autor: **werix7** » 27 mar 2014, o 19:11

jarek4700 pisze:W sumie to jednak miałem na myśli że szybciej będzie tak jak zaproponował norwimaj

A mógłbyś pokazać rozwiązanie tego zadania sposobem norwimaj najlepiej z rysunkiem?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 27 mar 2014, o 21:27

Niech podstawą ostrosłupa będzie trójkąt $\displaystyle{ ABC}$ i niech $\displaystyle{ S}$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa. Niech $\displaystyle{ D}$ będzie środkiem odcinka $\displaystyle{ BC}$. Płaszczyzna $\displaystyle{ DAS}$ jest prostopadła do prostej $\displaystyle{ BC}$. Poniżej przedstawiam przekrój tą płaszczyzną. Czy wiesz, gdzie na tym przekroju jest środek okręgu wpisanego?

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){180}}
\qbezier(0,0)(30,51.9615)(60,103.9230)
\qbezier(180,0)(120,51.9615)(60,103.9230)
\put(-8,-8){$D$}
\put(181,-8){$A$}
\put(56,105){$S$}
\qbezier(8,0)(7,5)(4,6.9282)
\put(9,4){$60^{\circ}$}
\end{picture}}$

werix7 pisze: Pole ściany bocznej wyszło mi $\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}}$. Dobrze?

Dobrze.

werix7 · Post autor: **werix7** » 28 mar 2014, o 12:03

norwimaj pisze:Niech podstawą ostrosłupa będzie trójkąt $\displaystyle{ ABC}$ i niech $\displaystyle{ S}$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa. Niech $\displaystyle{ D}$ będzie środkiem odcinka $\displaystyle{ BC}$. Płaszczyzna $\displaystyle{ DAS}$ jest prostopadła do prostej $\displaystyle{ BC}$. Poniżej przedstawiam przekrój tą płaszczyzną. Czy wiesz, gdzie na tym przekroju jest środek okręgu wpisanego?

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){180}}
\qbezier(0,0)(30,51.9615)(60,103.9230)
\qbezier(180,0)(120,51.9615)(60,103.9230)
\put(-8,-8){$D$}
\put(181,-8){$A$}
\put(56,105){$S$}
\qbezier(8,0)(7,5)(4,6.9282)
\put(9,4){$60^{\circ}$}
\end{picture}}$

werix7 pisze: Pole ściany bocznej wyszło mi $\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}}$. Dobrze?
Dobrze.

Czy ten trójkąt ma wymiary: $\displaystyle{ \frac{1}{2}a}$, $\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{6}}$,$\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{3}}$ ?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2014, o 15:00

norwimaj pisze:Czy wiesz, gdzie na tym przekroju jest środek okręgu wpisanego?

Ponawiam pytanie.

werix7 pisze: Czy ten trójkąt ma wymiary: $\displaystyle{ \frac{1}{2}a}$, $\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{6}}$,$\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{3}}$ ?

Chodzi o trójkąt $\displaystyle{ DES}$ na poniższym rysunku? Jeśli tak, to dobrze.

$\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){180}}
\qbezier(0,0)(30,51.9615)(60,103.9230)
\qbezier(180,0)(120,51.9615)(60,103.9230)
\put(60,0){\line(0,1){103.9230}}
\put(56,-8){$E$}
\put(-8,-8){$D$}
\put(181,-8){$A$}
\put(56,105){$S$}
\qbezier(8,0)(7,5)(4,6.9282)
\put(9,4){$60^{\circ}$}
\qbezier(68,0)(68,3.3137)(65.6569,5.6569)
\qbezier(60,8)(63.3137,8)(65.6569,5.6569)
\put(63.5,3.5){\circle*1}
\end{picture}}$

werix7 · Post autor: **werix7** » 28 mar 2014, o 16:36

norwimaj pisze:
norwimaj pisze:Czy wiesz, gdzie na tym przekroju jest środek okręgu wpisanego?

Niestety nie wiem

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 mar 2014, o 20:52

Zgódź się najpierw, że środek jest gdzieś na prostej $\displaystyle{ SE}$, bo tak wynika z symetrii.
Edit: To jednak nie jest w pełni poprawny argument, ale myślę, że natenczas można go zostawić.

Następnie zauważ, że środek kuli wpisanej jest jednakowo odległy od każdej ze ścian ostrosłupa (albo od każdej z płaszczyzn zawierających ściany ostrosłupa), mianowicie od każdej ściany jest odległy o promień kuli wpisanej.