Objętość bryły

[squared]

Mam pytanie, jak obliczyć objętość bryły zrobionej w następujący sposób: mamy kulę, a w nią wpisany walec o wysokości \(\displaystyle{ 6 \ cm}\). I interesuje Nas objętość kuli z wyciętą górą i dołem tzn. wycinamy sobie tą część, którą Nam odcina walec u góry. Mam nadzieję, że w miarę dobrze to opisałem.

Ilustracja (chcemy obliczyć to co jest zakolorowane na czerwono:

AU

decb061897c45524med.jpg (28.99 KiB) Przejrzano 61 razy

Jeśli wezmę sobie przekrój walca - mam wtedy prostokąt. Jego przekątna to \(\displaystyle{ 2R}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) - promień kuli. Oznaczam \(\displaystyle{ h}\) - wysokość walca, \(\displaystyle{ r}\) - promień walca. No i powiedzmy, że da się jakoś powiązać te wielkości ze sobą, ale skąd mam wiedzieć, jaka część walca została wycięta, to pierwszy problem. Dwa wydaje mi się, że i tak mało danych jest na to, by rozwiązać zadanie.

[Ania221]

[florek177]

Jeżeli walec o określonej wysokości h ma być wpisany w kulę, to jego promień musi być funkcją R:
\(\displaystyle{ r(R) = \sqrt{R^{2} - (\frac{h}{2})^{2}}\);

dalej korzystasz z posta - jak wyżej, gdzie: \(\displaystyle{ h = R - \frac{h}{2}}\)

[squared]

Hmmm przeanalizowałem to wszystko i mam:
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość walca
\(\displaystyle{ R}\) - promień walca
\(\displaystyle{ r}\) - promień kuli
\(\displaystyle{ t}\) - strzałka

I mam w przekroju poziomego walca zależność z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (2r)^2=H^2+(2R)^2 \ \ \ (1)}\)

Z zależności w czaszy kuli (nie udowadniam biorę gotowy podany wzór)
\(\displaystyle{ R=\sqrt{(2r-t)t} \ \ \ (2)}\)

No i ogólnie: \(\displaystyle{ 2r=H+2t \ \ \ \ (3)}\)

No i szukana objętość to: \(\displaystyle{ V=V_{kuli}-2V_{czasy}= \frac{4}{3}\pi r^3 - \frac{2}{3} 'pi t^2(3r-t)= \frac{\pi}{3}(4r^3-6t^2r+2t^3)}\)

Tworzę z
\(\displaystyle{ (1),(2),(3) \ \ \text{układ \ równań}:
\begin{cases} 4r^2-H^2+4R^2 \\ R^2=2rt-t^2 \\ H+2t = 2r \end{cases}\\
\text{Z \ (1) \ i (2):} \\
4r^2=H^2+8rt-4t^2 \\ \\
\begin{cases} 4r^2=H^2+8rt-4t^2 \\ 4r^2 = H^2 + 4t^2 + 4tH \ \ \ (3) \end{cases} \\

H^2 + 8rt -4t^2 = H^2 + 4t^2 + 4tH \ \
8rt=8t^2+4tH \\
r=t+\frac{1}{2}H \\ \\
z \ (3) H+2t = 2t + 1 \dots}\)

Już dalej nie przepisuję, ile razy bym nie liczył, bez znaczenia jakimi podstawieniami to wychodzi mi to układ nieoznaczony... oczywiście H znamy, można postawić 6 i, i tak nic nie wychodzi.

[florek177]

Niepotrzebnie komplikujesz sytuację bo promień kuli i wysokość walca w sposób jednoznaczny determinują promień podstawy walca, który jest także promieniem czaszy:

\(\displaystyle{ R = \sqrt{r^2 - (\frac{H}{2})^2}}\)

Uwzględniając we wzorze na objętość czaszy: \(\displaystyle{ \,\, t = r - \frac{H}{2} \,\,\,}\)

mamy: \(\displaystyle{ 2V_{cz}(r,H) = \frac{2 \pi }{3}(r - \frac{H}{2})^{2} ( 3r - \frac{H}{2})}\)

oraz:
\(\displaystyle{ V = V_{k} - 2 V_{cz} = ...... = \frac{ \pi }{12} H ( 12 r^{2} - H^{2})}\)

[squared]

Warto dotycząc treść zadania, nie znamy \(\displaystyle{ r}\)...