Dwa stożki, jedna podstawa

[SuperM4n]

Na jednej i tej samej podstawie zbudowano dwa stożki obrotowe, jeden wewnątrz drugiego. Kąt utworzony przez wysokość i tworzącą mniejszego stożka ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), a kąt utworzony przez wysokość i tworzącą większego stożka \(\displaystyle{ \beta}\). Różnica wysokości stożków wynosi d. Oblicz różnice objętości obu stożków.

Odp: \(\displaystyle{ \frac{\pi \cdot d ^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot \sin ^{2} \beta }{3 \cdot \sin ^{2} (\alpha - \beta)}}\)

[chris_f]

A próbowałeś coś sam zrobić?

Masz tak naprawdę dwa trójkąty prostokątne prostokątne, jeden o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\), drugi o kącie \(\displaystyle{ \beta}\). Wyraź promienie podstawy obu stożków w zależności od kąta i wysokości. Wtedy policzysz objętości i ich różnice.

[SuperM4n]

\(\displaystyle{ r= h _{2} \cdot \tan \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ r= h _{1} \cdot \tan \beta}\)

gdzie \(\displaystyle{ h _{1}}\) - dłuższa wysokość.

Wzór na różnice \(\displaystyle{ V _{1} - V _{2}= \frac{ h _{1} ^{3} \cdot \sin ^{2} \beta \cdot cos ^{2} \alpha - h _{2} ^{3} \cdot \sin ^{2} \alpha \cdot cos ^{2} \beta}{\cos ^{2}\beta \cdot \cos ^{2} \alpha }}\).

Czyli wyszło mi tak jakby na odwrót. Jak z tego dalej wyjść?

[chris_f]

Zrobiłem rysunek tych dwóch trójkątów, oznaczyłem odpowiednio (mam nadzieję, że zrozumiale)

Wtedy mamy na początek:
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=\tan\alpha,\quad \frac{h+d}{r}=\tan\beta}\)
Dalej dostajemy
\(\displaystyle{ h=r\tan\alpha\quad h+d=r\tan\beta}\)
do drugiego podstawiamy pierwsze
\(\displaystyle{ r\tan\alpha+d=r\tan\beta}\)

\(\displaystyle{ d=r(\tan\beta-\tan\alpha)}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{d}{\tan\beta-\tan\alpha}}\)

Teraz policzmy szybko
\(\displaystyle{ V_2-V_1=\frac13\pi r^2(h+d)-\frac13\pi r^2h=\frac13\pi r^2d}\)
Podstawiając otrzymamy
\(\displaystyle{ V_2-V_1=\frac13\pi\left(\frac{d}{\tan\beta-\tan\alpha}\right)^2\cdot d=
\frac13\pi d^3\cdot\frac{1}{(\tan\beta-\tan\alpha)^2}}\)
Teraz to już tylko zabawa z funkcjami trygonometrycznymi.

Jedno, bez rachunków, mogę stwierdzić od razu: w Twojej odpowiedzi jest błąd, tam we wzorze musi być \(\displaystyle{ d^3}\), a u Ciebie jest tylko \(\displaystyle{ d^2}\).

[SuperM4n]

Dziękuję bardzo za wyczerpującą odpowiedź, ale, niestety, w Twoim rysunku jest błąd, który wpływa na resztę równań. Kąty są między tworzącą, a wysokością stożka, czyli \(\displaystyle{ \frac{r}{h} = \tan \alpha}\)itp. co wpływa na wynik i sposób rozwiązania.

[chris_f]

A, rzeczywiście nie doczytałem, chodzi o coś takiego

Różnica będzie polegała jedynie na zmianie tangensów na cotangensy, wszystkie obliczenia będą podobne.

Natomiast na 100% jestem pewny, że w odpowiedzi musi wystąpić \(\displaystyle{ d^3}\).

[SuperM4n]

Rzeczywiście, wystarczy zastosować cotangensy. Wychodzi na to, że nie jestem zbyt lotny i dlatego od razu nie skojarzyłem. Co do błędu z kwadratem zamiast sześcianu - prawdopodobnie masz rację i źle przepisałem (nauczyciel podawał wynik). W każdym razie - bardzo dziękuję za piękne wytłumaczenie i oczywiście leci +1.