Pole przekroju osiowego stożka jest równe P a kąt rozwarcia stożka ma miare alfa. Oblicz objętość stożka oraz jego pole powierzchni bocznej.
Pole przekroju osiowego stożka to według mnie: \(\displaystyle{ rH}\)
Co dalej?
jak sobie podzielę ten kąt rozwarcia na połowę to będę miał:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{ \alpha }{2})=\frac{r}{l}}\)
i z tego \(\displaystyle{ r=\sin(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)
a \(\displaystyle{ H=\cos(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)
I teraz objętość jak wyliczyć, bo mam trochę problem z tym sinusem i cosinusem przez dwa?
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} (\sin(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l)^{2} \cdot \cos(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)
???
Pole przekroju osiowego stożka?
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
eeeeeee, to że sinus i cosinus połówki alfa się pojawił to nie jest problem (bo przecież kąt alfa jest dany)
Bardziej problemem jest to że w objętosci pojawiło się \(\displaystyle{ l}\), którego nie znamy (i ciężko będzie je wyrazić poprzez dane \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)) dlatego pozwolę sobie porzucić twój pomysł...
Trzeba by jakoś wykorzystać informację nt tego danego \(\displaystyle{ P}\) które wynosi jak słusznie zauważyłeś \(\displaystyle{ r\cdot H}\).
Można zamiast sinusów i cosinusów zabawić się w tangensa:
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right) =\frac{r}{H}}\), czyli \(\displaystyle{ r=\tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H}\)
Z drugiej strony, z tego że \(\displaystyle{ P=r\cdot H}\) wynika, że \(\displaystyle{ r=\frac{P}{H}}\)
zatem \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H=\frac{P}{H}}\)
Twoje zadanie - z tego ostatniego równania wyznacz \(\displaystyle{ H}\), gdzie \(\displaystyle{ H>0}\), a następnie napisz wzór na \(\displaystyle{ V}\) przy pomocy danych \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha}\). Napisz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\) - sprawdzimy
Bardziej problemem jest to że w objętosci pojawiło się \(\displaystyle{ l}\), którego nie znamy (i ciężko będzie je wyrazić poprzez dane \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)) dlatego pozwolę sobie porzucić twój pomysł...
Trzeba by jakoś wykorzystać informację nt tego danego \(\displaystyle{ P}\) które wynosi jak słusznie zauważyłeś \(\displaystyle{ r\cdot H}\).
Można zamiast sinusów i cosinusów zabawić się w tangensa:
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right) =\frac{r}{H}}\), czyli \(\displaystyle{ r=\tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H}\)
Z drugiej strony, z tego że \(\displaystyle{ P=r\cdot H}\) wynika, że \(\displaystyle{ r=\frac{P}{H}}\)
zatem \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H=\frac{P}{H}}\)
Twoje zadanie - z tego ostatniego równania wyznacz \(\displaystyle{ H}\), gdzie \(\displaystyle{ H>0}\), a następnie napisz wzór na \(\displaystyle{ V}\) przy pomocy danych \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha}\). Napisz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\) - sprawdzimy
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
Ok, zaraz napiszę zajrzyj jeszcze do drugiego mojego tematu o przyprostokątnych, bo w tamtym też nie wiem co dalej.loitzl9006 pisze: Napisz ten wzór na V - sprawdzimy
\(\displaystyle{ r=\tg \frac{ \alpha }{2} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{ H^{2}\cdot \tg^2 \frac { \alpha }{2} \cdot \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}{3}}\)
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
brakuje \(\displaystyle{ \pi}\) we wzorze na \(\displaystyle{ V}\), poza tym poprawnie tylko jak masz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\), to zamień w nim \(\displaystyle{ H^2}\) na \(\displaystyle{ \frac{P}{\tg \frac{\alpha}2 }}\) i będzie ok
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
loitzl9006 pisze:brakuje \(\displaystyle{ \pi}\) we wzorze na \(\displaystyle{ V}\), poza tym poprawnie tylko jak masz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\), to zamień w nim \(\displaystyle{ H^2}\) na \(\displaystyle{ \frac{P}{\tg \frac{\alpha}2 }}\) i będzie ok
a pytanie do mojej pierwszej metody czy mógłby być taki wynik?
\(\displaystyle{ V=(\frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac {\alpha}{2} \cdot l^{3}}{3}) \pi}\)
Co do tego właściwego, a więc: \(\displaystyle{ V=(\frac{ {P} \cdot tg\frac { \alpha }{2} \cdot \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}{3}) \pi}\) ???
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
co do pierwszej metody - no nie może być - z tego względu że nie wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ l}\). Masz niewiadomą \(\displaystyle{ V}\) wyrażoną poprzez niewiadomą \(\displaystyle{ l}\). To tak jakbyś miał do rozw. równanie \(\displaystyle{ x^2-5x+6=0}\) i napisał, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-\frac6{x-5}}\). Formalnie poprawne przekształcenie, ale wyrażasz niewiadomą przez niewiadomą.
Co do tego właściwego, to jest ok
Co do tego właściwego, to jest ok
-
- Użytkownik
- Posty: 303
- Rejestracja: 17 sty 2014, o 02:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gniezno
- Podziękował: 36 razy
Pole przekroju osiowego stożka?
loitzl9006 pisze:co do pierwszej metody - no nie może być - z tego względu że nie wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ l}\). Masz niewiadomą \(\displaystyle{ V}\) wyrażoną poprzez niewiadomą \(\displaystyle{ l}\). To tak jakbyś miał do rozw. równanie \(\displaystyle{ x^2-5x+6=0}\) i napisał, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-\frac6{x-5}}\). Formalnie poprawne przekształcenie, ale wyrażasz niewiadomą przez niewiadomą.
Co do tego właściwego, to jest ok
Dzięki, że wytłumaczyłeś. Właśnie o to mi chodziło dlaczego nie może być:)