Pole przekroju osiowego stożka?

[Dreamer1x6xX]

Pole przekroju osiowego stożka jest równe P a kąt rozwarcia stożka ma miare alfa. Oblicz objętość stożka oraz jego pole powierzchni bocznej.

Pole przekroju osiowego stożka to według mnie: \(\displaystyle{ rH}\)

Co dalej?

jak sobie podzielę ten kąt rozwarcia na połowę to będę miał:

\(\displaystyle{ \sin(\frac{ \alpha }{2})=\frac{r}{l}}\)

i z tego \(\displaystyle{ r=\sin(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)

a \(\displaystyle{ H=\cos(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)

I teraz objętość jak wyliczyć, bo mam trochę problem z tym sinusem i cosinusem przez dwa?

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} (\sin(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l)^{2} \cdot \cos(\frac{ \alpha }{2}) \cdot l}\)

???

[loitzl9006]

eeeeeee, to że sinus i cosinus połówki alfa się pojawił to nie jest problem (bo przecież kąt alfa jest dany)

Bardziej problemem jest to że w objętosci pojawiło się \(\displaystyle{ l}\), którego nie znamy (i ciężko będzie je wyrazić poprzez dane \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)) dlatego pozwolę sobie porzucić twój pomysł...

Trzeba by jakoś wykorzystać informację nt tego danego \(\displaystyle{ P}\) które wynosi jak słusznie zauważyłeś \(\displaystyle{ r\cdot H}\).

Można zamiast sinusów i cosinusów zabawić się w tangensa:

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right) =\frac{r}{H}}\), czyli \(\displaystyle{ r=\tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H}\)

Z drugiej strony, z tego że \(\displaystyle{ P=r\cdot H}\) wynika, że \(\displaystyle{ r=\frac{P}{H}}\)

zatem \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\alpha}2\right)\cdot H=\frac{P}{H}}\)

Twoje zadanie - z tego ostatniego równania wyznacz \(\displaystyle{ H}\), gdzie \(\displaystyle{ H>0}\), a następnie napisz wzór na \(\displaystyle{ V}\) przy pomocy danych \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha}\). Napisz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\) - sprawdzimy

[Dreamer1x6xX]

Napisz ten wzór na V - sprawdzimy

Ok, zaraz napiszę zajrzyj jeszcze do drugiego mojego tematu o przyprostokątnych, bo w tamtym też nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ r=\tg \frac{ \alpha }{2} \cdot H}\)

\(\displaystyle{ H= \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}\)



\(\displaystyle{ V=\frac{ H^{2}\cdot \tg^2 \frac { \alpha }{2} \cdot \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}{3}}\)

[loitzl9006]

brakuje \(\displaystyle{ \pi}\) we wzorze na \(\displaystyle{ V}\), poza tym poprawnie tylko jak masz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\), to zamień w nim \(\displaystyle{ H^2}\) na \(\displaystyle{ \frac{P}{\tg \frac{\alpha}2 }}\) i będzie ok

[Dreamer1x6xX]

brakuje \(\displaystyle{ \pi}\) we wzorze na \(\displaystyle{ V}\), poza tym poprawnie tylko jak masz ten wzór na \(\displaystyle{ V}\), to zamień w nim \(\displaystyle{ H^2}\) na \(\displaystyle{ \frac{P}{\tg \frac{\alpha}2 }}\) i będzie ok

a pytanie do mojej pierwszej metody czy mógłby być taki wynik?

\(\displaystyle{ V=(\frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac {\alpha}{2} \cdot l^{3}}{3}) \pi}\)

Co do tego właściwego, a więc: \(\displaystyle{ V=(\frac{ {P} \cdot tg\frac { \alpha }{2} \cdot \sqrt{\frac{P}{\tg \frac{ \alpha }{2}}}}{3}) \pi}\) ???

[loitzl9006]

co do pierwszej metody - no nie może być - z tego względu że nie wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ l}\). Masz niewiadomą \(\displaystyle{ V}\) wyrażoną poprzez niewiadomą \(\displaystyle{ l}\). To tak jakbyś miał do rozw. równanie \(\displaystyle{ x^2-5x+6=0}\) i napisał, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-\frac6{x-5}}\). Formalnie poprawne przekształcenie, ale wyrażasz niewiadomą przez niewiadomą.

Co do tego właściwego, to jest ok

[Dreamer1x6xX]

co do pierwszej metody - no nie może być - z tego względu że nie wiemy ile wynosi \(\displaystyle{ l}\). Masz niewiadomą \(\displaystyle{ V}\) wyrażoną poprzez niewiadomą \(\displaystyle{ l}\). To tak jakbyś miał do rozw. równanie \(\displaystyle{ x^2-5x+6=0}\) i napisał, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-\frac6{x-5}}\). Formalnie poprawne przekształcenie, ale wyrażasz niewiadomą przez niewiadomą.

Co do tego właściwego, to jest ok

Dzięki, że wytłumaczyłeś. Właśnie o to mi chodziło dlaczego nie może być:)