Kąty w przenikających się prostopadłościanach

[majsterklepka]

Witam.
Mam dwa prostopadłościany ustawione prostopadle wobec siebie i nachylone pod jednakowym kątem. Wynikiem jest bryła podobna do narożnika dachu. Na rysunku wygląda to tak:

AU

k1050ty2_zps4c2e33b1.jpg (10.31 KiB) Przejrzano 114 razy

[/url]


Jedynym znanym kątem jest kąt nachylenia obu prostopadłościanów (A). Moim zadaniem jest znalezienie kątów B i C.
Wiadomo, że dla kąta A=90 pozostałe mają miarę odpowiednio B=90, C=45. Natomiast dla A=0, B=45, C=90.
Nie szukam gotowego rozwiązania dla danego kąta A, ale raczej wzoru/algorytmu do obliczania tych kątów.
Pozdrawiam.

[kropka+]

Przecież gdyby to były prostopadłościany, to nie byłoby innych możliwości niż te dwie, które podałeś, czyli albo łączysz je na sztorc, albo na płasko. Więc, to chyba jednak są równoległościany - czyli wszystkie ściany są równoległobokami?.

[norwimaj]

Prostopadłościan chyba jest tu skrótem myślowym na bryłę powstałą z przecięcia prostopadłościanu płaszczyzną i odrzucenia jednej części.

Czy dobrze rozumiem, że szara prosta, będąca ramieniem kąta \(\displaystyle{ A}\), jest równoległa do krawędzi drugiego prostopadłościanu?

Czy przyjmujemy, że oba prostopadłościany są takie same? Jeśli nie, to potrzebne są dodatkowe dane, bo może się na przykład zdarzyć, że jeden prostopadłościan będzie gruby, a drugi cienki, i wtedy \(\displaystyle{ B\approx 90^{\circ}}\).

[majsterklepka]

Norwimaj, tak, to skrót myślowy To dwa prostopadłościany, z których po przeniknięciu odrzuciłem zewnętrzne narożniki. To tak, jakby ściany naszego pokoju zostały nachylone do wewnątrz a my chcemy obliczyć te dwa kąty.
Tak, szara prosta jest równoległa do krawędzi drugiego prostopadłościanu.
Tak, obie części są jednakowe.
To rzut z rysunku 3D, teraz widzę że niezbyt przejrzysty...
Mniej więcej określiłem te kąty dla kilku różnych nachyleń za pomocą rzutowania, ale rysunek choćby najdokładniejszy zawsze jest obarczony pewnym błędem.

[kruszewski]

Proszę popatrzeć na ten "rysunek" wzdłuż osi tego klocka co jest zwrócony "do nas" i jest obrócony o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Łatwo wtedy zauważyć, że aby przekroje w których sklejają się oba klocki, wzdłuż odcinka widocznego na górze, to ten klocek musi być skręcony o ten kąt a zatem nie będzie wtedy prostopadłościanem.

[norwimaj]

Proszę popatrzeć na ten "rysunek" wzdłuż osi tego klocka co jest zwrócony "do nas" i jest obrócony o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).

Coś takiego?
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\thicklines
\put(0,0){\line(-1,2){20}}
\put(0,0){\line(2,1){60}}
\put(60,30){\line(-1,2){20}}
\put(-20,40){\line(2,1){60}}
\put(0,0){\line(1,0){150}}
\put(60,30){\line(1,0){90}}
\put(40,70){\line(1,0){110}}
\put(150,0){\line(0,1){70}}
\put(0,42){$\alpha$}
\thinlines
\color{gray}
\put(-20,40){\line(1,0){170}}
\end{picture}}\)

Łatwo wtedy zauważyć, że aby przekroje w których sklejają się oba klocki, wzdłuż odcinka widocznego na górze, to ten klocek musi być skręcony o ten kąt a zatem nie będzie wtedy prostopadłościanem.

Nie rozumiem tego uzasadnienia.

Proponuję następujący eksperyment. Bierzemy długi prostopadłościan. Tniemy go dowolną płaszczyzną tak, żeby przeciąć wszystkie cztery długie krawędzie pod kątem \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\). Można to zrobić na wiele istotnie różnych sposobów. Następnie otrzymaną część prostopadłościanu przykładamy nową ścianą do zwierciadła płaskiego. Widok, który nam się ukaże, to sytuacja z zadania, stąd wniosek, że to może istnieć i może być zrobione z "prostopadłościanów".

[kropka+]

Sprytne, tylko dlaczego nie powiedziałeś, że całe lustro będzie w maśle ...

[norwimaj]

Sprytne, tylko dlaczego nie powiedziałeś, że całe lustro będzie w maśle ...

Ups, ja to traktowałem jako eksperyment myślowy. Nie pomyślałem, że ktoś naprawdę zechce to przeprowadzić.

[kruszewski]

Tak jak tu:

W.Kr.

[norwimaj]

Tak jak tu:

W.Kr.

Być może drugi prostopadłościan też trzeba obrócić.


Niech punkt \(\displaystyle{ P}\) będzie wierzchołkiem kąta \(\displaystyle{ B}\) i niech \(\displaystyle{ p}\) oznacza płaszczyznę wyznaczoną przez krawędzie prostopadłe, zbiegające się w tym punkcie. Niech ramię kąta \(\displaystyle{ B}\) przecina inne dwie krawędzie w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Niech wreszcie \(\displaystyle{ Q}\) będzie rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ S}\) na drugie ramię kąta \(\displaystyle{ B}\), a \(\displaystyle{ R}\) – rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ p}\). Mój nieudolny rysunek przedstawia rzut bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ p}\).

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
{ \color{gray}
\put(10,-10){\line(1,0){110}}
\put(10,-10){\line(0,-1){110}}
\put(21,-39){$R$}
}
\thicklines
\put(-5,2){$P$}
\put(-9,-36){$Q$}
\put(27,-26){$S$}
\multiput(0,-30)(4,0){15}{\line(1,0){2}}
\put(0,0){\line(1,-1){40}}
\put(0,0){\line(1,0){120}}
\put(30,-30){\line(1,0){90}}
\put(40,-40){\line(1,0){80}}
\put(120,0){\line(0,-1){40}}
\put(0,0){\line(0,-1){120}}
\put(30,-30){\line(0,-1){90}}
\put(40,-40){\line(0,-1){80}}
\put(0,-120){\line(1,0){40}}
\thinlines \color{gray}
\put(10,-10){\line(1,0){110}}
\put(10,-10){\line(0,-1){110}}
\end{picture}}\)

Po przydługim wstępie napisać można oczywistą równość:
\(\displaystyle{ \tg B\cdot \cos A = \frac{QS}{PQ}\cdot\frac{QR}{QS}=\frac{QR}{PQ}=\tg45^{\circ}=1.}\)

Połowa zadania zrobiona.

[kropka+]

Norwimaj, tak, to skrót myślowy To dwa prostopadłościany, z których po przeniknięciu odrzuciłem zewnętrzne narożniki. To tak, jakby ściany naszego pokoju zostały nachylone do wewnątrz a my chcemy obliczyć te dwa kąty.

Nie potrafię sobie wyobrazić, gdzie na rysunku jest ten pokój ze ścianami nachylonymi do wewnątrz. Co w końcu jest przekrojem tej bryły z kątem A? Jeżeli odciął tylko zewnętrzne górne narożniki, to przekrojem jest trapez prostokątny. Wtedy jeżeli pokój jest w tym kącie prostym pomiędzy bryłami, to ściany ma prostopadłe do podłogi. Jeżeli pokój jest na zewnątrz kąta prostego, to dlaczego napisał, że odciął zewnętrzne narożniki? Poza tym wtedy, do pewnej wysokości ściany byłyby prostopadłe do podłogi, a potem odchylone na zewnątrz.
Jeżeli natomiast trapez nie jest prostokątny, albo w ogóle nie jest to trapez (odciął oba górne rogi) a pokój jest wewnątrz kąta prostego, to ściany są odchylone na zewnątrz, czyli sufit jest większy od podłogi. I po co nas pyta o kąt C, jak go ma w pokoju i może sam go zmierzyć?

[norwimaj]

Nie rozumiem, dlaczego Kropka Plus zwraca się do Majstra Klepki w formie trzeciej osoby. Przecież łatwiej by uzyskała odpowiedź, gdyby zapytała go bezpośrednio. A może chce uzyskać odpowiedź od kogoś innego? Kto jednak lepiej wyjaśni, co autor miał na myśli i co sobie wyobraził, niż sam autor?

I po co nas pyta o kąt C, jak go ma w pokoju i może sam go zmierzyć?

A czy Kropka zaryzykowałaby wejście do walącego się pokoju, żeby tylko zmierzyć kąt? Nie radzę.

[kropka+]

majstrzeklepko, ponieważ rzadko wypowiadasz się w tym temacie, pozwoliłam sobie poprosić kolegów o narysowanie wspomnianego przekroju, żebyś mógł się ustosunkować do tego, czy rozwiązują ten problem, o który Ci chodzi. Mam nadzieję, że nie poczułeś się tym urażony. Jeżeli nadal śledzisz nasze zmagania, to narysuj ten przekrój, żeby był wiadomo, co mamy policzyć.
A czy norwimaj może narysować ten przekrój?

[norwimaj]

Droga Kropko, ja tej interpretacji z pokojem za bardzo nie rozumiem i nie wiem, o jaki przekrój chodzi. Czy będziesz usatysfakcjonowana, jeśli podam współrzędne wierzchołków wielościanu w układzie współrzędnych? Wtedy łatwo znajdziesz najważniejsze przekroje bryły.

[kropka+]

Oczywiście, że będę usatysfakcjonowana.