Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: norwimaj »

Powiedzmy, że długość prostopadłościanu (od kąta \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\)) to \(\displaystyle{ c}\), szerokość \(\displaystyle{ a}\), wysokość \(\displaystyle{ b}\). Niech początek układu współrzędnych będzie tam, gdzie jest zaznaczony kąt prosty, oś \(\displaystyle{ x}\) niech będzie skierowana wzdłuż lewego prostopadłościanu, oś \(\displaystyle{ y}\) wzdłuż prawego, oś \(\displaystyle{ z}\) w górę.

Najmniejsza ściana lewego prostopadłościanu:
\(\displaystyle{ W_l=(c,0,0),\\
X_l=(c,b\sin A,-b\cos A),\\
Y_l=(c,b\sin A+ a\cos A, -b\cos A+a\sin A ),\\
Z_l=(c,a\cos A, a\sin A).}\)


Najmniejsza ściana prawego prostopadłościanu:
\(\displaystyle{ W_r=(0,c,0),\\
X_r=(b\sin A,c,-b\cos A),\\
Y_r=(b\sin A+ a\cos A,c, -b\cos A+a\sin A ),\\
Z_r=(a\cos A,c, a\sin A).}\)


Połączenie obu prostopadłościanów:
\(\displaystyle{ W_c=(0,0,0),\\
X_c=(b\sin A,b\sin A,-b\cos A),\\
Y_c=(b\sin A+ a\cos A,b\sin A+ a\cos A, -b\cos A+a\sin A ),\\
Z_c=(a\cos A,a\cos A, a\sin A).}\)


Wierzchołki \(\displaystyle{ W}\) leżą po zewnętrznej stronie bryły, \(\displaystyle{ X}\) od spodu, \(\displaystyle{ Y}\) od strony wewnętrznej, \(\displaystyle{ Z}\) na górze.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: kropka+ »

Dziękuję bardzo.
majsterklepka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 4 mar 2014, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: majsterklepka »

Wybaczcie, ale praca nie pozwala mi regularnie śledzić wątku. Z kolei moje spojrzenie od strony konstrukcyjnej (bo zagadnienie dotyczy elementu konstrukcji) często powoduje, że to, co dla mnie jest oczywistością, dla innych jest niejasnym Koledzy wyżej jednak sporo rzeczy wyjaśnili.

Poniżej dwa rysunki, które może ułatwią zrozumienie całości. Najpierw dwa prostopadłościany, które wzajemnie się przenikają. Czerwona przestrzeń jest wspólna dla obu.


Teraz obie bryły obracamy pod kątem alpha, a osiami obrotu są odpowiednio oś X dla lewej bryły i oś Y dla prawej.


Po usunięciu narożników otrzymujemy bryłę jak z rysunku w pierwszym poście.

Potrafię te kąty otrzymać jednym cięciem (prostopadłościany to w rzeczywistości płyty meblowe łączone w taki sposób), ale zależy mi na możliwości obliczenia tych kątów na papierze.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: kropka+ »

Super rysunki, teraz dotarło do mnie o co chodzi. Cały czas myślałam o pokoju i ścianach, więc nie przypuszczałam, że "ściany" nie stykają się z "podłogą". Dlatego pisałam o trapezie.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: kruszewski »

Jak na rysunku jest narysowana jedna krawędź to muszą być narysowane wszystkie. Podobnie z niewidocznymi. Jak jedna to i pozostałe.
To, że kawałki są ucięte, nie może być powodem nie podania krawędzi.
Stąd kłopoty z widokiem tych klocków.
Rysunek pierwszy nie jest odpowiedni do rys. drugiego.
klocki.png
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: kropka+ »

Edit. Muszę jeszcze coś sprawdzić, więc kasuję.
Edit, Wydaje mi się, że kąt \(\displaystyle{ C=90 ^{o}+A}\) - co Wy o tym sądzicie?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: norwimaj »

kropka+ pisze:Wydaje mi się, że kąt \(\displaystyle{ C=90 ^{o}+A}\) - co Wy o tym sądzicie?
Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ A=90^{\circ}}\) powinno być \(\displaystyle{ C=135^{\circ}}\). Ponadto nie mogę się oprzeć wrażeniu, że \(\displaystyle{ \tg(C-90^{\circ})=\sin A}\).
majsterklepka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 4 mar 2014, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Kąty w przenikających się prostopadłościanach

Post autor: majsterklepka »

Zrobiłem dzisiaj trochę próbnych cięć i choć pomiary są obarczone sporym błędem, to pozwoliły mi teraz na sprawdzenie podanych wzorów i stwierdzam co następuje:

\(\displaystyle{ \tg(C-90^{\circ})=\sin A}\) - prawda

\(\displaystyle{ \tg B\cdot \cos A = \frac{QS}{PQ}\cdot\frac{QR}{QS}=\frac{QR}{PQ}=\tg45^{\circ}=1.}\) - prawda

Tak więc Norwimaj rozwiązał całość Stokrotne dzięki.
ODPOWIEDZ