Kula wpisana w stożek; obliczyć objętość

[Foobar45498]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). W stożek ten wpisano kulę o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Oblicz objętość stożka. (Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{\pi r^3 \ctg^3 \frac{\alpha}{2}\tan\alpha}{3}}\)).

Próbowałem podejść do tego zadania na dwa sposoby. Najpierw rozrysowałem sobie przekrój stożka, zaznaczyłem promień kuli i próbowałem dojść do rozwiązania z podobieństwa - mniejszy trójkąt można rozwiązać, ponieważ jest prostokątny i mamy dany jeden z kątów ostrych oraz długość boku, ale do wyliczenia drugiego (dużego) trójkąta potrzebna jest skala podobieństwa, której nie potrafię wyznaczyć.

Przez \(\displaystyle{ R}\) oznaczam promień podstawy stożka, przez \(\displaystyle{ l}\) tworzącą.
Moje drugie podejście to zapisanie pola trójkąta na dwa sposoby. Jest on równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 2R}\) i kącie między ramionami \(\displaystyle{ \pi - 2\alpha}\), jego pole to \(\displaystyle{ \frac{l^2\sin\alpha}{2}=\frac{R^2}{2\cos^2\alpha}\cos(2\alpha)=\frac{R^2}{2}(1-\tan\alpha)}\)
Następnie ze wzoru na pole trójkąta w zależności od promienia okręgu wpisanego: \(\displaystyle{ S=\frac{2R+2l}{2}r=(R+l)r}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{R^2}{2}(1-\tan\alpha)=(\frac{R}{\cos\alpha}+R)r}\) i po przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ R=\frac{2r}{1-\tan\alpha}(\frac{1}{\cos\alpha}+1)}\). Niestety, po wyliczeniu objętości otrzymujemy wynik znacząco różny od oczekiwanego. Widać zresztą "na oko", że coś jest źle.

Proszę o wskazówki, które doprowadzę mnie do zrozumienia zadania oraz o ukazanie błędów w rachunkach/rozumowaniu (rachunki celowo skróciłem pozostawiając tylko najważniejsze). Za pomoc i poświęcony czas z góry dziękuję.

[mortan517]

Promień kuli może być prostopadły do tworzącej i wtedy będzie dwa trójkąty prostokątne, ten oraz drugi to wysokość, tworząca i połowa promienia podstawy.

[Ania221]

Wylicz wysokość stożka z tw Pitagorasa. Przedtem wylicz \(\displaystyle{ l}\) w zależności od \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ a}\)