przekątne prostopadłościanu

metalknight · Post autor: **metalknight** » 14 lut 2014, o 20:42

Prostopadłościan ma wymiary \(\displaystyle{ a,b,c}\). Obliczyć długość najkrótszego odcinka łączącego dwie proste skośne, zawierające przekątne tego prostopadłościanu.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 14 lut 2014, o 20:54

Może ja coś źle rozumiem, ale wydaje mi się że w dowolnym prostopadłościanie każde dwie przekątne się przecinają, w dodatku w jednym punkcie, więc jak mogą być skośne? Może chodziło Ci o przekątne ścian?

metalknight · Post autor: **metalknight** » 14 lut 2014, o 21:07

Tak, zapomniałem dopisać ścian*

Poprawione:

Prostopadłościan ma wymiary \(\displaystyle{ a,b,c}\). Obliczyć długość najkrótszego odcinka łączącego dwie proste skośne, zawierające przekątne ścian tego prostopadłościanu.-- 16 lut 2014, o 17:32 --Wie ktoś jak to zrobić?

metalknight · Post autor: **metalknight** » 3 mar 2014, o 18:55

Wie ktoś jak to zrobić?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 3 mar 2014, o 19:25

Jeśli masz dwie proste skośne: \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), i chcesz znaleźć odległość pomiędzy nimi, to możesz znaleźć dwie płaszczyzny równoległe: \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), takie że \(\displaystyle{ k\subset p}\), \(\displaystyle{ l\subset q}\), i znaleźć odległość pomiędzy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).

metalknight · Post autor: **metalknight** » 3 mar 2014, o 19:39

A pomiędzy którą parą prostych skośnych jest najkrótszy odcinek i jak wyznaczyć takie płaszczyzny?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 3 mar 2014, o 19:46

metalknight pisze:A pomiędzy którą parą prostych skośnych jest najkrótszy odcinek

Najpierw rozwiąż zadanie dla ustalonej pary.

metalknight pisze: i jak wyznaczyć takie płaszczyzny?

Zgadnąć. Te płaszczyzny są wyznaczone jednoznacznie, więc jeśli uda się zgadnąć, to w porządku. Ewentualnie można przesunąć jedną z prostych tak, żeby się przecięła z drugą. Wtedy obie proste wyznaczą jedną z tych płaszczyzn.

metalknight · Post autor: **metalknight** » 3 mar 2014, o 19:50

norwimaj pisze:
metalknight pisze: i jak wyznaczyć takie płaszczyzny?
Zgadnąć. Te płaszczyzny są wyznaczone jednoznacznie, więc jeśli uda się zgadnąć, to w porządku. Ewentualnie można przesunąć jedną z prostych tak, żeby się przecięła z drugą. Wtedy obie proste wyznaczą jedną z tych płaszczyzn.

Z tym zgadnięciem mam właśnie problem, bo kompletnie tego nie widzę.

-- 3 mar 2014, o 19:52 --

Jak mam dwie sąsiednie ściany boczne i odpowiednie przekątne, to mogę przesunąć tak jak mówisz jedną przekątną na przeciwległą ścianę boczną aby obie miały wspólny wierzchołek? To będzie odpowiednie przecięcie tych prostych, co mi da jedną płaszczyznę?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 4 mar 2014, o 10:52

Tak. W tym wypadku równoległymi płaszczyznami, zawierającymi proste skośne, są po prostu płaszczyzny przeciwległych ścian.

metalknight · Post autor: **metalknight** » 7 mar 2014, o 19:20

metalknight pisze: Jak mam dwie sąsiednie ściany boczne i odpowiednie przekątne, to mogę przesunąć tak jak mówisz jedną przekątną na przeciwległą ścianę boczną aby obie miały wspólny wierzchołek? To będzie odpowiednie przecięcie tych prostych, co mi da jedną płaszczyznę?
norwimaj pisze:Tak. W tym wypadku równoległymi płaszczyznami, zawierającymi proste skośne, są po prostu płaszczyzny przeciwległych ścian.

Nie rozumiem. Rozważam proste \(\displaystyle{ m,n}\), które są skośne, następnie rzutuję prostopadle \(\displaystyle{ m}\) na przeciwległą ścianę boczną, otrzymując prostą \(\displaystyle{ p}\), która przecina się z prostą \(\displaystyle{ n}\) w wierzchołku podstawy. Prosta \(\displaystyle{ m}\) jest zawarta w płaszczyźnie ściany bocznej, natomiast prosta \(\displaystyle{ n}\) nie jest zawarta w płaszczyźnie przeciwległej ściany bocznej, tylko w płaszczyźnie sąsiedniej ściany bocznej (ew. płaszczyzny tego trójkąta utworzonego m.in. z odcinków \(\displaystyle{ p,n}\) ). O jakie równoległe płaszczyzny przeciwległych ścian Ci zatem chodzi?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 7 mar 2014, o 22:29

Przepraszam za wprowadzenie w błąd. Nie rozpatrzyłem wszystkich przypadków. Ja pisałem o parach przekątnych zawartych w przeciwległych ścianach. Nie zwróciłem uwagi, że przekątne przyległych ścian też mogą być skośne.

W przypadku pokazanym na rysunku każda z tych dwóch równoległych płaszczyzn przechodzi przez trzy wierzchołki prostopadłościanu.

metalknight · Post autor: **metalknight** » 8 mar 2014, o 16:38

No dobra, mam przekroje tymi płaszczyznami równoległymi na rysunku tylko jeszcze nie wiem jak znaleźć tę odległość między nimi. Potrzebuję taki odcinek ustalający odległość (prostopadły do obu płaszczyzn), który pozwoli mi ją uzależnić od \(\displaystyle{ a,b,c}\), wiem też, że aby stwierdzić, że prosta jest prostopadła do płaszczyzny, wystarczy wskazać takie dwie różne proste leżące na tej płaszczyźnie, że ta prosta jest prostopadła do każdej z nich. Mógłbyś mi podpowiedzieć jak go znaleźć?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 8 mar 2014, o 18:05

metalknight pisze:wystarczy wskazać takie dwie różne proste leżące na tej płaszczyźnie, że ta prosta jest prostopadła do każdej z nich.

Ściślej: dwie nierównoległe proste.

metalknight pisze:Mógłbyś mi podpowiedzieć jak go znaleźć?

Sam jeszcze tego nie wymyśliłem. Można oczywiście wrzucić ten prostopadłościan w układ współrzędnych i posłużyć się iloczynem wektorowym, ale to rozwiązanie wydaje mi się mało satysfakcjonujące.-- 14 mar 2014, o 11:23 --Chyba nie ma co się silić na jakieś rozwiązanie bez układu współrzędnych. Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołki \(\displaystyle{ (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)}\) ma równanie \(\displaystyle{ \frac xa +\frac yb + \frac zc=1}\). Teraz można albo skorzystać z tego, że wektorem prostopadłym do płaszczyzny jest \(\displaystyle{ \left[\frac1a,\frac1b,\frac1c\right]}\), albo zastosować gotowy wzór na odległość punktu od płaszczyzny, biorąc na przykład punkt \(\displaystyle{ (a,b,0)}\) i wspomnianą już płaszczyznę.