Ostrosłup, oblicz stosunek objetości

[nkwd]

Każdka krawedź w ostrosłupie czworokątnym o podstawie ABCD i wirzchołku S ma długośc a. Punkt P ostrosłupa ma równe odlegości od każdej z krawędzi podstawy ostrosłupa i od jego wierzchołka S
a)oblicz objetość i pole powierzchni ostrosłupa ABCDP
b)oblicz stosunek objetości ostrosłupów

[szymuś]

wszystko sprowadza się do obliczenia objętości mniejszego ostrosłupa \(\displaystyle{ V_m}\) a do tego potrzebna jest jego
\(\displaystyle{ h}\) - wysokosc ktorej nie mamy. za \(\displaystyle{ H}\) oznacze wysokosc duzego ostroslupa
a podawana odległość od kr podstaw i punktu S to \(\displaystyle{ x}\) a wiec

\(\displaystyle{ H^2=a^2 - \frac{a^2}{2} \\
H= \frac{a\sqrt2}{2} \\
(\frac{a}{2})^2 + (H-x)^2 = x^2\\
x= \frac{3\sqrt2}{8} * a}\)

i wreszcie

\(\displaystyle{ h=a( \frac{\sqrt2}{2} - \frac{3\sqrt2}{8}) = \frac{a\sqrt2}{8} \\
V_m= \frac{1}{3} * a^3 * \frac{\sqrt2}{8} = \frac{a^3 \sqrt2}{24}}\)

a co do pola to jest to suma pola podstawy ([texa^2][/latex]) i 4 pól rójkątów rownramiennych o wysokosci \(\displaystyle{ x}\) oraz podstawie \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ P= a^2 + 4 * \frac{1}{2} * a * x = a^2 + 4 * \frac{1}{2} * a * \frac{ 3 \sqrt2}{8} * a = (1+ \frac{3 \sqrt2}{4}) a^2}\)

na tym rys wszystko widac


\(\displaystyle{ V_w=\frac{1}{3} H a^2 = \frac{a^3 \sqrt2}{6}}\)
w więc
\(\displaystyle{ \frac{V_m}{V_w} = \frac{1}{4}}\)