Prawidłowy ostrosłup czworokątny

[MaTTematyk]

Prawidłowy ostrosłup czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość a, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni . Obliczyć pole otrzymanego przekroju.
Mógłby ktoś pomóc z tym zadaniem przepraszam ze nie wstawiam rysunku, ale ciężko mi jest go zrobić tak aby ktoś inny niż ja się w nim połapał

[Ania221]

Płaszczyzna przekroju jest trapezem równoramiennym o podstawach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i wysokości \(\displaystyle{ H}\) wrysowanej pośrodku trapezu. Ta wysokość jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 45}\) stopni i wraz z odcinkiem \(\displaystyle{ c}\) i odcinkiem \(\displaystyle{ a}\) w podstawie, przechodzącym przez środek podstawy, tworzy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a}\) , \(\displaystyle{ H}\) , \(\displaystyle{ c}\) i kątach \(\displaystyle{ 45}\) stopni i \(\displaystyle{ \beta}\). Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.
Zacznij od wyliczenia \(\displaystyle{ \cos\beta \Rightarrow \sin\beta}\). Potem z tw sinusów i cosinusów wilicz \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ c}\) jest wysokością trapezu odciętego przez pł przekroju w ścianie bocznej, z tego oblicz \(\displaystyle{ b}\)

[Dilectus]

Ania mnie ubiegła
A ja miałem taki pomysł:
Przetnij myślowo ten ostrosłup prawidłowy płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa (a więc i wysokość ściany biocznej). Przekrojem będzie trójkąt równoramienny o podstawie a i bokach równych wysokości trójkąta tównobocznego o boku a (czyli \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\))

Stąd wyliczysz (tw. sinusów) kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego do podstawy \(\displaystyle{ \alpha}\).

Teraz zbuduj (na tym samym rysunku) trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i kątach przy tej podstawie odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta = 45°}\) Rozwiąż ten trójkąt (nie będzie problemów, bo masz dwa kąty i długość podstawy). Jeden z boków tego trójkąta jest długością krawędzi bocznej ostrosłupa powstałego po przecięciu, a drugi - wysokością szukanego przekroju. Przekrój ten jest więc trójkątem o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości, którą znalazłeś. A więc możesz obliczyć pole przekroju.

[MaTTematyk]

Wychodzi mi \(\displaystyle{ 16 a^{2}\left( \sqrt{2} - 1 \right)}\) ale nie wiem czy nie zrobiłem gdzieś błędu.

[Ania221]

Jeśli to ostateczny wynik, to mnie wyszło inaczej, ale też nie wiem, czy sie nie pomylilam. Bo kiepskie wyniki wychodzą.

-- 24 sty 2014, o 11:58 --

\(\displaystyle{ H_1=2a( \sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ H_2=2a( \sqrt{2}+1)}\)

-- 24 sty 2014, o 12:01 --

\(\displaystyle{ c_1=a \sqrt{3}( \sqrt{2} -1)}\)
\(\displaystyle{ c_2=a \sqrt{3}( \sqrt{2} +1)}\)

-- 24 sty 2014, o 12:18 --

Doliczyłam jeszcze raz i wyszło mi \(\displaystyle{ P=2a^2(3 \sqrt{2} -4)}\) ale głowy za to nie daję.
I ostatecznie \(\displaystyle{ H=2a( \sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ c=a \sqrt{3}( \sqrt{2} -1)}\)

[MaTTematyk]

aa tak wiem gdzie popełniłem błąd dzięki