Ostrosłupy i kąty

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
SuperM4n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy

Ostrosłupy i kąty

Post autor: SuperM4n »

Witam,
potrzebuję pomocy z dwoma zadankami. Najpewniej są to banalne rzeczy, ale, niestety, nie udało mi się na nic wpaść. Podaję treść:

1. W ściętym prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędzie podstaw mają długości a i \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\). Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa, jeżeli kąt między ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\).

2. Ściany boczne ostrosłupa nachylone sa do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\). Podstawą ostrosłupa jest wielokąt o obwodzie \(\displaystyle{ 2p}\), w który można wpisać okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Wyznacz objętość ostrosłupa.

Odp: \(\displaystyle{ \frac{pr^{2}\tg \alpha }{3}}\). Niestety, do pierwszego nie posiadam odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2014, o 18:24 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Każde wyrażenie matematyczne należy umieszczać między tagami [latex], [/latex]. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
tomkoder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 8 gru 2013, o 12:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 19 razy

Ostrosłupy i kąty

Post autor: tomkoder »

Ad. 2

Przyjrzyj się wzorom na objętość ostrosłupa foremnego.

Zwróć uwagę że masz dane wszystko poza wysokością. A wysokość obliczasz przy pomocy kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) z trójkąta o krawędziach - krawędź ostrosłupa, jego wysokość oraz \(\displaystyle{ r}\) (jest to oczywiście trójkąt prostokątny o jednym z kątów - \(\displaystyle{ \alpha}\))
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Ostrosłupy i kąty

Post autor: wujomaro »

Zad 1
Rysunek, funkcje trygonometryczne do wyznaczenia wysokości. Objętość ostrosłupa ściętego to różnica objętości dwóch ostrosłupów, pole całkowite to suma pól wszystkich ścian.
Pozdrawiam1
tomkoder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 8 gru 2013, o 12:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 19 razy

Ostrosłupy i kąty

Post autor: tomkoder »

Ad. 1

Ponownie przyjrzyj się wzorom na to czego szukasz.

Objętość:
Zwróć uwagę że ponownie masz dane wszystko poza wysokością.

Pole całkowite:
Brakuje Ci pola boków.
Zauważ że wszystkie cztery boki są takie same, narysuj na kartce na płasko bok zobaczysz że tworzy charakterystyczną figurę. Jaki jest wzór na jej pole?

Jak obliczyć wysokość tej bryły:
Musisz użyć kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) - on będzie np. w trójkącie zbudowanym z krawędzi ostrosłupa, jego wysokości i kawałka przekątnej podstawy.
Narysuj sobie rzut z góry, zobacz że możesz wyznaczyć długość przekątnej podstawy górnej i dolnej oraz długość tego kawałka przekątnej który potrzebujesz.
Obliczasz z tego wysokość bryły.

Możesz więc obliczyć objętość.

A teraz trzeba obliczyć pole boku.

Zapewne wiesz już jaka to figura i jakie są wzory na jej pole.

Jeden z nich wymaga tylko długości boków - skoro podstawy już masz to trzeba tylko bok a przecież bok tej figury jest krawędzią boczną naszej bryły, więc można ją obliczyć z tego trójkąta co wysokość.
Ale ten wzór jest skomplikowany i dużo liczenia.

Więc lepiej wykorzystać inny wzór do którego potrzebna jest wysokość.
Zauważ ze jak narysujesz wysokość boku to możesz utworzyć trójkąt prostokątny z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) zbudowany z: wysokości boku, wysokości bryły (którą już policzyłeś) oraz kawałka podstawy między nimi.
Wyliczasz więc wys. boku uzależniając ją od kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i wysokości bryły.

Obliczasz pola boczne

Obliczasz pole całkowite.

Na koniec przydatne linki do wzorów do obu zadań (oczywiście wszystkie powinieneś znać ):[url]http://pl.wikipedia.org/wiki/Ostrosłup_ścięty[/url]
[url]http://pl.wikipedia.org/wiki/Trapez[/url]
SuperM4n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 37 razy

Ostrosłupy i kąty

Post autor: SuperM4n »

Dziękuję obu Panom za pomoc i przepraszam, że tak późno odpisuje. Punkty przyznane i jeszcze raz dziękuję.
ODPOWIEDZ