objętość i pole stożka

[gusia114]

Mam prośbę o sprawdzenie mojego rozwiązania gdyż wychodzi mi inny wynik niż w książce...

Romb o dłuższej przekątnej długości 6 i kącie ostry \(\displaystyle{ 60 ^{0}}\) obraca się dookoła krótszej przekątnej. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej.

Wiem że.... z obrotu tego rombu powstanie bryła składająca się z dwóch stożków.
Podstawą tych stożków będzie koło stworzone przez dłuższą przekątną , czyli r =3
wysokością będzie połowa krótszej przekątnej.
l-tworząca stożka

aby obliczyć objętość i pole całkowite stwierdziłam że najpierw obliczę objętość i pole jednego stożka a potem pomnożę razy dwa (wtedy uzyskam całkowite)

wzór na objętość \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r ^{2} h}\)

mam r nie mam h
obliczyłam je z \(\displaystyle{ tg 30 ^{0} = \frac{h}{3}}\) czyli \(\displaystyle{ h= \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
podstawiłam pod wzór i wyszła objętość stożka \(\displaystyle{ vs= \frac{9 \sqrt{3} }{2} \pi}\)
czyli całkowita \(\displaystyle{ V=9 \sqrt{3} \pi}\)

w podręczniku w odpowiedziach mam wzór ostateczny bez danych \(\displaystyle{ V= \frac{ \pi d ^{3} }{12}tg ^{2} \alpha}\) Po podstawieniu mi się nie zgadza....

do pola brakowało mi l, ale je policzyłam z pitagorasa i wyszło mi \(\displaystyle{ l ^{2} =3 ^{2} + \frac{3 \sqrt{3} }{2} ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ l= \frac{3 \sqrt{7} }{2}}\)
ale po podstawieni do wzorów tez wyszedł inny wynik...
pole całkowite \(\displaystyle{ S=27 \sqrt{3} \pi}\)
a wzór z podręcznika \(\displaystyle{ S= \frac{ \pi d ^{2} }{2} * \frac{sin \alpha }{cos ^{2 } \alpha }}\)

nie wiem co robię źle...

[Ania221]

Źle policzyłaś \(\displaystyle{ h}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ \tg30}\) ? tu jest błąd
Nie podstawiaj do ostatecznych wzorów z książki. Dobrze myślisz. Wyliczaj krok po kroku potrzebne odcinki i podstawiaj do wzoru na objętość i pole stożka.

[gusia114]

?-- 12 sty 2014, o 18:52 --\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) tak liczyłam

[Ania221]

sprawdź to

[gusia114]

Ja policzyłam po swojemu a dla sprawdzenia policzyłam tylko jaki wynik powinien mi wyjść i coś mam źle...
napisałam co po wyliczeniu wszystkich odcinków i i podstawieniu do wzorów mi wyszło.... ale różni się to z tym co wyjść powinno wg wzoru podanego w książce...-- 12 sty 2014, o 18:58 --i jest błąd dzięki na razie pozmieniam i zobaczę .... miał być \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Miałam źle przepisane....

[Ania221]

no właśnie to masz źle. Z tego błędu dalej masz źle wyliczony następny odcinek.

Poza tym, we wzorze z książki jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) czyli 60 stopni. Ty posługujesz sie połówką czyli 30 stopni, i bardzo słusznie robisz. Ale w związku z tym wzór literkowy nie odpowiada Twoim wyliczeniom.
Policz po swojemu bo dobrze zaczęłaś, tylko popraw błąd. I sprawdź wynik liczbowy z książką.

[gusia114]

no w takim wypadku \(\displaystyle{ h= \sqrt{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ V=2*3 \sqrt{3} \pi = 6 \sqrt{3} \pi}\)
wynik z książki to \(\displaystyle{ 6 \pi}\)

-- 12 sty 2014, o 19:07 --

obliczyłam też na nowo l \(\displaystyle{ l=2 \sqrt{3}}\)-- 12 sty 2014, o 19:16 --i dalej nie wychodzą wyniki z książki

[Ania221]

Mnie wychodzi \(\displaystyle{ V= 6 \sqrt{3} \pi}\)

[gusia114]

wg moich obliczeń też mi tak wychodzi... ale jak podstawię pod wzór z książki to wychodzi inaczej....

-- 12 sty 2014, o 19:44 --

a pole wyszło mi \(\displaystyle{ S=6 \pi (3+2 \sqrt{3} )}\)

[Ania221]

Hm...tak myślałam. Przyjrzyj sie temu Twojemu stożkowi. Jaką on ma podstawę?

[gusia114]

skoro obraca się koło krótszej przekątnej to podstawa będzie stworzona z dłuższej przekątnej więc r =3 skoro dłuższa przekątna =6

[Ania221]

A możesz tę podstawę pmalować farbą?

[gusia114]

?

[Ania221]

Widzisz ją? jakbyś wzięla tę brylę do rki, to dotkniesz tej podstawy?

[gusia114]

no nie bo ona jest w środku....