Kula opisana i wpisana

[nowyyyy4]

Jak wykazać, że kula wpisana i opisana na czworościanie foremnym mają wspólny środek?
Wiem, że przekrojem kuli wpisanej jest trójkąt równoramienny o bokach równych wysokości ścianom bocznym i postawie równej \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) tej wysokości.

[a4karo]

Z symetrii: ile osi symetrii ma czworościan wpisany w kulę? A ile opisany na kuli?, Gdzie one się przecinają? Ile osi symetrii ma sam czworościan?

[nowyyyy4]

Czworościan sam ma 4 osie, wychodzą z wierzchołków i przecinają się w tym punkcie co wysokości. Podobnie wpisany i opisany na kuli. Ale to tylko na podstawie wyobraźni...

[a4karo]

on ma cztery wierzchołki...
Wyobrażnia jest dobrym narzędziem.
OK, na przecięciu czego leży środek kuli opisanej?
Na przecięciu czego leży srodek kuli wpisanej?

[nowyyyy4]

Tak tak, więc ma 4 osie, środek opisanej leży na przecięciu się wysokości czworościanu, a wpisanej na przecięciu się dwusiecznych kąta między krawędzią a podstawa? Taka analogia do trójkąta.

[a4karo]

Z wpisana to nie do konca prawda. A gdzie leżą punkty styczności kuli wpisanej ze ścianami?

[nowyyyy4]

Leży w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości ściany bocznej.

[a4karo]

A jak te punkty maja się do wysokości czworoscianu?

[nowyyyy4]

Jak \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości, to \(\displaystyle{ H= 2 \sqrt{2} x}\)

-- 5 sty 2014, o 16:13 --

Jeszcze to, że prosta wychodząca z wierzchołka leżącego naprzeciw, przecina wysokość też na poziomie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i jest prostopadły do ściany i ta wysokość jest częscią promienia kuli wpisanej. A wysokości w czworościenie przecinają się też w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), więc to ten sam punkt. Dobrze myśle?

[a4karo]

Promień kuli wpisanej jest prostopadły do ściany w punkcie styczności i na dodatek ten sam punkt jest spodkiem wysokości. Stad wniosek, że środek kuli wpisanej leży na przecięciu wysokości, a wiec w tym samym punkcie, co środek kuli opisanej...