objętość dwóch stożków

[gusia114]

wiesz co kiedyś to miałam ale nic nie pamiętam...
jakbyś przypomniał będę wdzięczna...

[mortan517]

Dobra, czyli mamy policzyć największą wartość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{18} \cdot (-a^4+36a^2)}\). Pierwszy ułamek jest stały więc zajmiemy się znalezieniem maksimum tego \(\displaystyle{ -a^4+36a^2}\).

Zapiszmy to jako \(\displaystyle{ f(a)=-a^4+36a^2}\).
Liczymy pochodną \(\displaystyle{ f'(a)=-4a^3+72a}\). Aby znaleźć ekstremum przyrównujemy pochodną do zera.
\(\displaystyle{ -4a^3+72a=0 \\ a(4a^2-72)=0}\)
Z tego wynika \(\displaystyle{ a=0 \vee a=3 \sqrt{2}}\)
Bok oczywiście musi być większy od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ a=3 \sqrt{2}}\).

[gusia114]

i teraz tą liczbę mam jeszcze podstawić pod pitagorasa żeby obliczyć b?
a potem r?z tego 2 wzoru?

[mortan517]

Tak. A po co ci \(\displaystyle{ r}\)? Pytają nas o przyprostokątne.

[gusia114]

ano racja... ja się już zagalopowałam... super... to dzięki wielkie za pomoc....
muszę siąść nad tymi funkcjami i sobie przypomnieć ale spox
jeszcze raz dzięki za pomoc

[a4karo]

Jak już się udało to rozwiązać, to pozwolę sobie na taka uwagę:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw (0,0) node[below]{$A$} -- (.866,1.5) node[right]{$C$} -- (0,2) node[above]{$B$} -- (0,1.5) node[left]{$D$} --cycle;
\draw (0,1.5)--(.866,1.5);
\end{tikzpicture}}\)
W tym trójkącie \(\displaystyle{ c_1=|AD|=3+t,\ c_2=|DB|=3-t,\ r=|CD|}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ CBD}\) wynika \(\displaystyle{ \frac{r}{c_1}=\frac{c_2}{r}}\) (to miałem na myśli pisząc o zależności między \(\displaystyle{ c_1, c_2, r}\)), a zatem szukana objętość jest równa
\(\displaystyle{ V(t)=2\pi r^2=2\pi c_1c_2=2\pi (9-t^2)}\)
i przyjmuje największą wartość dla \(\displaystyle{ t=0}\), czyli gdy przyprostokątne są równe

[gusia114]

o... super dzięki za jeszcze jedno krótsze rozwiązanie... w tym się nie pogubię