objętość dwóch stożków

[gusia114]

Trójkąt prostokątny obraca się dookoła przeciwprostokątnej o długości \(\displaystyle{ 6}\). Jakie powinny być przyprostokątne tego trójkąta aby powstała bryła miała największą objętość

wiem że powstała bryła to dwa stożki
wiem że wysokość spadająca na przeciwprostokątną dzieli nam ją na \(\displaystyle{ c_1}\) i \(\displaystyle{ c_2}\)
\(\displaystyle{ c_1+c_2=c=6}\)
z tego wynika że
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r ^{2} c_1+ \frac{1}{3} \pi r ^{2} c_2=2r ^{2}}\)

z tego wynika że żeby objętość była największa to musi być jak największe \(\displaystyle{ r}\)... logicznie myśląc musi to być trójkąt równoramienny chyba... ale jak to udowodnić?

Z góry dzięki za pomoc

[mortan517]

Zgubiłaś \(\displaystyle{ \pi}\) w wyniku. A teraz uzależnij twoje \(\displaystyle{ r}\) od przyprostokątnych. (pole trójkąta)

[a4karo]

albo sprawdz jaki jest związek między \(\displaystyle{ r,\ c_1,\ c_2}\).

[gusia114]

chodzi ci o to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} rc= \frac{1}{2} ab}\)
i
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}}\)
???-- 4 sty 2014, o 17:16 --tzn?

[a4karo]

ale \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa zmienne. Czym jest \(\displaystyle{ r}\) w tym trójkącie?

[gusia114]

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to są przyprostokątne
r-promień podstawy stożków
\(\displaystyle{ c_1 +c_2=c}\) czyli przeciwprostokątna

[mortan517]

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki trójkątów

Objętość całej bryły:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r^2 c_{1} + \frac{1}{3} \pi r^2 c_{2} = \frac{1}{3} \pi r^2 ( c_{1} + c_{2}) =\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 6 = 2 \pi r^2}\)

Zależności:
\(\displaystyle{ 6r=ab \\ a^2 + b^2 = 6}\)

[gusia114]

no i tak np.
\(\displaystyle{ a= \sqrt{6-b ^{2} }}\)
czyli
\(\displaystyle{ 6r=b \sqrt{6-b ^{2} }}\)
i co dalej?-- 4 sty 2014, o 17:31 --pomyłka zamiast 6 ma być 36

[mortan517]

\(\displaystyle{ V \rightarrow max \\ 2 \pi r^2 \rightarrow max}\)

Za \(\displaystyle{ r}\) podstaw przyprostokątne z równania \(\displaystyle{ 6r=ab}\).

[gusia114]

to wtedy wyjdzie mi
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}b ^{2} }{18} \pi}\)

[mortan517]

Dobrze i teraz jedną przyprostokątną uzależnij od drugiej tym wzorem \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = 6}\).

[gusia114]

i wyjdzie \(\displaystyle{ 2b ^{2}-b ^{4} \pi}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{18} a^2 b^2 = \frac{\pi}{18} a^2 (6-a^2) = ...}\)

I później liczysz największą wartość, możesz podstawić np. \(\displaystyle{ t=a^2}\) i wierzchołek funkcji kwadratowej albo pochodna.

[gusia114]

\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} =36}\)
wię u ciebie też wyjdzie
\(\displaystyle{ \frac{36a ^{2}-a ^{4} }{18} \pi}\)-- 4 sty 2014, o 17:56 --i naprawdę dalej jestem blondynką i nie wiem co zrobić...

[mortan517]

A faktycznie gubiłem cały czas i pisałem \(\displaystyle{ 6}\) zamiast \(\displaystyle{ 36}\), ale umiesz liczyć pochodną i wiesz jak wyznaczyć ekstremum?