Dany jest stożek o objętości \(\displaystyle{ 1}\) i polu powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ 6}\). Znaleźć promień podstawy
stożka.
wiem że \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2h=1, P_c=\pi r(r+l)=6, l^2=h^2+r^2}\)
niby proste mam układ równań ale nie umie go rozwiązać....
objętość stożka
objętość stożka
Ostatnio zmieniony 31 gru 2013, o 09:30 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
objętość stożka
\(\displaystyle{ \begin{cases} \pi r^2h=3 \\ \pi r(r+l)=6 \end{cases}\iff\begin{cases} \pi r=\frac{3}{rh} \\ r+l=2rh \end{cases}\implies l=r(2h-1)}\)
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ r^2(2h-1)^2=r^2+h^2\iff 4r^2h^2-4r^2h=h^2\iff 4r^2h-4r^2=h\iff h(4r^2-1)=4r^2\iff h=\frac{4r^2}{4r^2-1}}\), więc wracając do pierwszego równania układu mamy \(\displaystyle{ 4\pi r^4=12r^2-3\iff 4\pi r^4-12r^2+3=0}\).
Wystarczy teraz rozwiązać otrzymane równanie dwukwadratowe.
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ r^2(2h-1)^2=r^2+h^2\iff 4r^2h^2-4r^2h=h^2\iff 4r^2h-4r^2=h\iff h(4r^2-1)=4r^2\iff h=\frac{4r^2}{4r^2-1}}\), więc wracając do pierwszego równania układu mamy \(\displaystyle{ 4\pi r^4=12r^2-3\iff 4\pi r^4-12r^2+3=0}\).
Wystarczy teraz rozwiązać otrzymane równanie dwukwadratowe.
