pole przekroju

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 11:08

Będę wdzięczna za pomoc bo nie wiem jak się za to zabrać...

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 6. Niech M i N będą odpowiednio środkami krawędzi AE i CG. Na przedłużeniu krawędzi DH obrano punkt P tak, że długość HP jest równa 3. Przez punkty M ,N i P poprowadzono płaszczyznę. Znaleźć pole przekroju sześcianu tą płaszczyzną.

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 11:27

Przede wszystkim rysunek - narysuj wszystkie dane, zaznacz długości boków...
Jaką figurą jest szukany przekrój?
W jakim punkcie odcinek PN przecina odcinek GH (i odcinek PM przecina EH)?

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 11:46

rysunek mam
wiem że powstanie trójkąt -wydaje mi się że równoramienny
MN = 6sqrt{3}
wydaje mi się że odcinek pn i pm przecina odpowiednio odcinek gh i eh w połowie ale nie wiem jak to uzasadnić..

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 11:54

MN to przekątna kwadratu o boku 6, więc jego długość to nie \(\displaystyle{ 6\sqrt{3}}\)

Żeby pokazać, że PN przecina GH w połowie (oznaczmy ten punkt przecięcia np. przez S), wystarczy, że spojrzysz na samą płaszczyznę wyznaczoną przez bok CDHG. Mamy tam dwa trójkąty: PHS oraz GNS. Co możemy o nich powiedzieć? Jakie mają kąty, jakie boki?

MNP to trójkąt, równoramienny. Ale on nie jest przekrojem sześcianu. Dorysuj jeszcze punkt analogiczny do punktu P (nazwijmy go np. R), na przedłużeniu boku BF.

W jakich punktach ta płaszczyzna przecina sześcian?

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:06

tak był błąd miało być 6 pierw.2
po dorysowaniu powstaje nam romb RMPN którego jedna przekątna wynosi 6 pierw 2

jeżeli wezmę pod uwagę trójkąty phs i sgn to są trójkąty prostokątne równoramienne (jeden kąt 90stopni i dwa 30 stopni)a skoro równoramienne to wiemy że ph=3 więc hs też równa się 3

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 12:13

Tak, mamy więc pokazane, że PN przecina GH w połowie, i pozostałe analogiczne odcinki również przecinają się w połowie

Ok, jest romb, ale... jego część wystaje poza sześcian, i to już nie liczy się do przekroju! Musimy tutaj spojrzeć właśnie na te nasze punkty przecięcia boków EH, GH, AB i BC przez płaszczyznę. Spróbuj dorysować jeszcze dwa odcinki:
- pomiędzy punktem przecięcia przez płaszczyznę boku EH i GH ( czyli tak naprawdę łączymy środki tych boków)
- analogicznie łączymy środki boków AB i BC.

Dzięki temu "obcinamy" część rombu, wystającą poza sześcian, i zostaje sam przekrój.

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:19

a można tak?
ale z twierdzenia pitagorasa mogę obliczyć drugą przekątną
wynosi ona 6 pierw z 2
i tylko teraz pod wzór podstawić??
Potem obliczyć pola tych trójkątów i odjąć od całości??-- 30 gru 2013, o 12:24 --pole rombu wyszłoby 36 jak dobrze liczę....
potem mam trójkąt hss1 dzięki któremu z twierdz pitagorasa obliczę ss1 3 pierw 2
z twierdzenia pitagorasa obliczę wysokość trójkąta pss1 która wyniesie s/pierw 2

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 12:26

Musimy obciąć te trójkąty, bo one nie należą do przekroju. Bierzemy pod uwagę tylko to, co "zawiera się" w sześcianie.

Tak, możesz to teraz obliczyć na dwa sposoby.
Pierwszy - Twój - od pola rombu odjąć pole trójkątów. Z tym, że tutaj długość jednej przekątnej to \(\displaystyle{ MN = 6\sqrt{2}}\), a jaką długość ma druga? Jakie boki ma trójkąt, na podstawie którego to liczymy?

Drugi sposób - spojrzeć, jaka figura jest przekrojem - sześciokąt. Możemy też zauważyć, że jest to sześciokąt foremny, znamy długość jego boku, i możemy w prosty sposób obliczyć jego pole (jako 6 * pole trójkąta równobocznego o takim boku).

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:28

jak mam wysokość to liczę pole trójkąta i wychodzi mi 9/2
teraz mogę obliczyć pole powstałej figury...
36-2*9/2=27

dobrze??-- 30 gru 2013, o 12:31 --no ewentualnie można prościej podstawić pod wzór sześciokąta foremnego

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 12:39

Po kolei. Jak liczysz długość przekątnej PR? Jak potem liczysz pole rombu?

Tak, jak pisałam wcześniej, można z pola sześciokąta foremnego

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:47

wysokość PR obliczyłam .. wzięłam trójkąt MNP i obliczyłam wysokość z pitagorasa (na MN zaznaczyłam x- koniec wysokości) i h wyszło 3pierw 2 czyli d = 6pierw 2
Potem podstawiłam pod wzór pola rombu d1*d2/2 i wyszło mi 36

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 12:52

No to właśnie przekątna PR wyszła źle. Mamy ten trójkąt MNP, on jest równoboczny, o boku \(\displaystyle{ 6\sqrt{2}}\). Wysokość możemy wyznaczyć pamiętając wzorki dla trójkąta równobocznego, albo z Pitagorasa - bierzemy przeciwprostokątną (równą \(\displaystyle{ 6\sqrt{2}}\)) i przyprostokątną - połowę boku (równą \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\)):
\(\displaystyle{ h = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 \cdot 2 - 9\cdot 2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}}\)

Spróbuj teraz jeszcze raz policzyć pole rombu.
A potem podobnie pole odcinanych trójkątów.

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:54

ale mniejsza z tym pod wzór sześciokąta szybciej

Dzięki wielkie za pomoc

ravgirl · Post autor: **ravgirl** » 30 gru 2013, o 12:55

Pewnie, że szybciej Do usług

gusia114 · Post autor: **gusia114** » 30 gru 2013, o 12:56

i dzięki za zaangażowanie bo uż nie chciałam mówić że mi coś źle jak zwykle wyszło