stosunek objętości kul: opisanej i wpisanej w ostrosłup

[matematyk1995]

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej do objętości kuli opisanej na tym ostrosłupie.

Oznaczenia: \(\displaystyle{ A, B, C}\) - wierzchołki trójkata równobocznego ( podstawa)
\(\displaystyle{ D}\)- wierzchołek ostosłupa z którego opuszczona jest wysokosć na podstawy ABC
\(\displaystyle{ S}\)- spodek wysokości tego ostrosłupa
\(\displaystyle{ O _{w}}\) - srodek kuli wpisanej w ten ostrosłup
\(\displaystyle{ O _{o}}\) - srodek kuli opisanej na tym ostrosłup

Zaczne od wyznaczania objętości kuli opisanej:

Więc: \(\displaystyle{ |DO _{o}|=|CO _{o}|=|DO _{o}|=|AO _{o}|=R}\)

Wiem że \(\displaystyle{ |AS|=|BS|=|CS|= \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

Układam układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} a=R+|SO _{o}| \\ R^2=|AS|^2+|SO _{o}|^2 \end{cases}}\)

Z tego mi wynika że : \(\displaystyle{ R= \frac{2R}{3}}\) a z tego : \(\displaystyle{ V_{opisanej} = \frac{32 \pi a^3}{81}}\)

Czy do tego miejsca jest dobrze?

Następnie liczę objętości kuli wpisanej

Tutaj staralem sie liczyc to tak: r-promien kuli wpisanej i r= wysokość ostroslupów:\(\displaystyle{ ABDO _{w}, BCDO _{w}, ACDO _{w}}\) i \(\displaystyle{ ABCO _{w}}\) i starałem się to wyliczyć z równania: \(\displaystyle{ V _{ABCO _{w}} = V _{ABCD} -3V _{ABDO _{w}}}\) bo \(\displaystyle{ ABDO _{w}= BCDO _{w} =ACDO _{w}}\) gdzie \(\displaystyle{ V _{ABCO _{w}}= \frac{a^2 r \sqrt{3} }{12}}\)

\(\displaystyle{ V _{ABCD}= \frac{a^3 \sqrt{3} }{12}}\)

\(\displaystyle{ 3V _{ABDO _{w}}= \frac{a^2 r \sqrt{ \frac{13}{12} } }{2}}\)


I to pole trójkąta ABD mi nie pasuje bo wynosi ono \(\displaystyle{ = \frac{a^2 \sqrt{ \frac{13}{12} } }{2}}\)


Poradziłby ktoś coś? Bo ze tego równania z objętościami wychodzi "brzydki" wynik.

Z góry dziękuje za pomoc.



edit:


Jednak \(\displaystyle{ P _{ABD} = \frac{a^2 r \sqrt{39} }{36}}\), więc z tego równania z objętośćiami wychodzi \(\displaystyle{ r= \frac{a}{1+ \sqrt{13} }}\) dobrze?

[Ania221]

Objętość opisanej jest dobrze.
Nie bardzo wiem, co Ty zrobiłeś z tymi objętościami, ale czy nie prościej wyliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt np \(\displaystyle{ CDE}\) gdzie \(\displaystyle{ E}\) to punkt opuszczenia wysokości ściany bocznej na krawędź \(\displaystyle{ AB}\) ?
Ten promień będzie równocześnie promieniem kuli wpisanej.

[matematyk1995]

Dziękuje za odp. Gorzej jest z policzeniem objętości kuli wpisanej.

[Ania221]

Niestety mnie promień wychodzi jeszcze brzydszy niż Tobie, bo \(\displaystyle{ r = \frac{a(7- \sqrt{13}) }{12}}\)

[matematyk1995]

A jesteś pewna, że to będzie ten sam promień dla kuli i dla tego okręgu ?
Nie jestem co do tego przekonany.

[Ania221]

Nie będzie. Masz rację. Kula wpisana nie dotknie przecież krawędzi.



Wyszedł mi taki sam \(\displaystyle{ r}\) jak Tobie.
Więc należy sądzić, że to jest dobrze
Ale i tak liczyłam z tego trójkąta, co poprzednio \(\displaystyle{ R}\), jest łatwiej.

[matematyk1995]

Tak właśnie myslalem i to mi nie pasowało. Jakiś inny pomysł?

[Ania221]

A masz odpowiedź do tego zadania? ciekawa jestem,. czy sie nie pomyliłam

[matematyk1995]

Właśnie nie mam, bo to z Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH i nie ma nigdzie odpowiedzi.

[a4karo]

Może tak: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pr}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) to pole powierzchni.

[Ania221]

Ale to ju jest właściwie wyliczone...ja w każdym razie wyliczyłam. Tylko jestem ciekawa, czy sie nie pomyliłam

[matematyk1995]

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Pr}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) pole powierzchni
Ten wzór działa dla każdego ostrosłupa ?

[Ania221]

To się do kuli odnosi.

[a4karo]

Ten wzór działa dla każdego wielościanu opisanego na kuli (dla dowodu podziel wielościan na ostrosłupy prowadząc odcinki od wierzchołków do środka kuli wpisanej).

Poza konkursem: jak wygląda analogiczny wzór dla pola wielokąta opisanego na okręgu?

[matematyk1995]

\(\displaystyle{ P=pr}\) gdzie p- polowa obwodu a r- dlugosc okregu wpisanego w wielokat.