Graniastosłup prawidłowy trójkątny

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 11 gru 2013, o 23:43

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, którego wszystkie krawędzie mają długość równą 1. Jaką długość ma najkrótsza droga, przebiegająca na powierzchni bryły, łącząca środek ciężkości podstawy graniastosłupa z wierzchołkiem należącym do przeciwległej podstawy?

chris_f · Post autor: **chris_f** » 12 gru 2013, o 11:50

Narysuj sobie siatkę tego graniastosłupa (rozłóż go na płaszczyźnie). Zadanie sprowadzi się do trójkąta równobocznego z "doklejonym" kwadratem do jednego boku. Trzeba policzyć długość odcinka łączącego środek ciężkości tego trójkąta (punkt przecięcia się wysokości, dwusiecznych, symetralnych - wszystko jedno, bo trójkąt jest równoboczny) z wierzchołkiem kwadratu nie leżącym na trójkącie.

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 12 gru 2013, o 23:26

Dziękuję za tą wskazówkę oto moje dzieło

Wiem, że rysunek jest uproszczony i kąty proste nie są najprostsze, ale chodzi o ten odcinek DG tak? Nie chodzi mi o rozwiązanie, ale może może macie jakieś wskazówki odnośnie policzenia tego odcinka?
(Próbowałem liczyć z pól ale wychodzi tożsamość, w Pitagorasie też nie widzę zbytniego sensu, może punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym ma specjalne właściwości o których nie wiem? )

Na_ten_czas · Post autor: **Na_ten_czas** » 13 gru 2013, o 06:15

A jak poprowadzisz odcinek od \(\displaystyle{ D}\) do \(\displaystyle{ T}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) to punkt leżący pomiędzy punktami \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\)?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 13 gru 2013, o 08:00

page.php?p=kompendium-planimetria
Punkt przecięcia wysokości (i wszystkiego innego) w trójkącie prostokątnym dzieli wysokość w stosunku \(\displaystyle{ 2:3}\)
Potem twierdzenie cosinusów.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 13 gru 2013, o 11:06

Na_ten_czas podał chyba najprostszą metodę.
Punkt \(\displaystyle{ T}\) umieszczamy w środku odcinka \(\displaystyle{ GH}\). Wtedy odcinek \(\displaystyle{ TD}\) to będzie suma odcinków: o długości \(\displaystyle{ 1}\) (bok kwadratu) i \(\displaystyle{ \frac13}\) wysokości trójkąta.
No a potem twierdzenie Pitagorasa, gdzie przeciwprostokątną jest szukany odcinek \(\displaystyle{ DG}\) a przyprostokątne mają długość \(\displaystyle{ \frac12}\) i ten znaleziony odcinek..