ostroslup czworokątny
-
frupel
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 20 mar 2007, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wrzesnia
- Podziękował: 2 razy
ostroslup czworokątny
podstawa ostrosłupa jest kwadrat. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna ma długość \(\displaystyle{ b}\) i tworzy z przyległymi do niej krawędziami podstawy kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) . Oblicz objętość tego ostrosłupa. Jakie miary może przyjmować kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
ostroslup czworokątny
Krawędź boczna prostopadła do podstawy jest jednocześnie wysokością ostrosłupa -H.
Pozostałe krawędzie (oprócz b) oznaczmy przez c.
Trójkąt o bokach c, a, b jest trójkatem prostokątnym, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=cos\alpha a=bcos\alpha \\ \frac{c}{b}=sin\alpha c=bsin\alpha}\)
Z tw. Pitagorasa zaś:
\(\displaystyle{ H^2+b^2cos^2\alpha=b^2sin^2\alpha \\ H=b\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha} \\ \\ V=\frac{1}{3}b^2cos^2\alpha b\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha}=\frac{b^3}{3}cos^2\alpha \sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha}}\)
Pozostałe krawędzie (oprócz b) oznaczmy przez c.
Trójkąt o bokach c, a, b jest trójkatem prostokątnym, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=cos\alpha a=bcos\alpha \\ \frac{c}{b}=sin\alpha c=bsin\alpha}\)
Z tw. Pitagorasa zaś:
\(\displaystyle{ H^2+b^2cos^2\alpha=b^2sin^2\alpha \\ H=b\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha} \\ \\ V=\frac{1}{3}b^2cos^2\alpha b\sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha}=\frac{b^3}{3}cos^2\alpha \sqrt{sin^2\alpha-cos^2\alpha}}\)