Cosinus przekroju

[prypciak]

Sześcian \(\displaystyle{ ABCD}\)\(\displaystyle{ A_{1}}\)\(\displaystyle{ B_{1}}\)\(\displaystyle{ C_{1}}\)\(\displaystyle{ D_{1}}\) przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną AC podstawy ABCD oraz odcinek MN, gdzie M jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ A_{1}}\)\(\displaystyle{ B_{1}}\), zaś N - środkiem krawędzi \(\displaystyle{ C_{1}}\) \(\displaystyle{ D_{1}}\). Oblicz cosinus kąta AMN otrzymanego przekroju . Doszedłem do wniosku że figura ACMN to trapez równoramienny( CN = AM , a podstawi są do siebie równoległe ). NC = MA = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}a }{2}}\). Oraz MN \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}a }{2}}\). Wyliczyłem również AN które jest równe \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}a }{2}}\) = CM. I powstał mi trójkąt równoramienny AMN, gdzie kąt AMN to kąt alfa. Obliczyłem wysokość w tym trójącie która wyszła mi , h = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{7}a }{2}}\) no i sinus alfa w tym trójkącie wyszedł mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{35} }{5}}\).
Czy dobrze to przemyślałem ? Nie mogę znaleźć odpowiedzi w sieci do tego arkusza
Czyli jest błąd bo sinus wyszedł nieprawdopodobny. Proszę o pomoc

[piasek101]

Wg mnie nie da się płaszczyzną tak przekroić.

[prypciak]

Wszystko się da. Potrzeba znaleźć boki trójkąta AMN a następnie skorzystać z twierdzenia Carnota to wyliczenia cosinusa kąta alfa.

[Snayk]

Wedlug mnie ta płaszczyzna bedzie zakrzywiona

[bakala12]

Wszystko się da.

Tu się mylisz. Ja uważam tak samo jak piasek101. Taka płaszczyzna nie istnieje. Co więcej można to łatwo udowodnić. Rozważmy płaszczyzny \(\displaystyle{ ACM}\) i \(\displaystyle{ ACN}\). Aby punkty \(\displaystyle{ A,C,M,N}\) leżały w jednej płaszczyźnie to płaszczyzny \(\displaystyle{ ACM}\) i \(\displaystyle{ ACN}\) musiałyby się pokrywać, a tak oczywiście nie jest, co łatwo stwierdzić patrząc choćby na rysunek. To oczywiście nie jest w pełni ścisły dowód, a jedynie wskazówka jak to zobaczyć.

Wedlug mnie ta płaszczyzna bedzie zakrzywiona

A co to właściwie ma znaczyć?

[Snayk]

To ma znaczyć że będzie taka zgięta nie wiem jakiego słowa użyć.
Tzn. mi się tak wydaje, próbuje to zrobić w wyobraźni poprowadzić taką płaszczynę która przechodzi przez dane odcinki. W sumie to już nie będzie płaszczyza, ale próbuje sobie wyobrazić, że "coś" przez te odcinki przejdzie, jednak do zadania to jest bezuzyteczne.

[prypciak]

Zadanie jest myślę dość szczegółowo opisane ale może bez rysunku ciężko je sobie wyobrazić dlatego podsyłam zdj.

AU

d27e22fc9ed74cc1med.jpg (45.83 KiB) Przejrzano 613 razy

[/url]

[Snayk]

Rysunek jest niezgodny z trescia. W tresci sa inne punkty M i N

[prypciak]

Rzeczywiście pkt. M ma być środkiem A1D1

[Snayk]

Policz AN Jeszcze raz

[prypciak]

Tak jak mówię po długich namysłach, dlatego że zadanie wydawało się bardzo trudne ( a w istocie rzeczy takie nie było), otrzymałem rozwiązanie. Odszukałem boki trójkąta AMN które wynoszą \(\displaystyle{ \left| AM\right| = \frac{ \sqrt{5}a }{2}}\), \(\displaystyle{ \left| AN\right| = \frac{3a}{2}}\), \(\displaystyle{ \left| MN\right| = \frac{ \sqrt{2}a }{2}}\). Kąt alfa to kąt AMN więc z twierdzenia cosinusów wyliczam wartość cosinusa dla tego kąta. W zadaniu jest błąd, ma być cosinus.
Sory za zamieszanie