siatka prostokątna wpisana w graniastosłup

[czarrna]

Witam,
Od jakiegoś czasu próbuję znaleźć rozwiązanie (niestety z marnym skutkiem) następującego zadania.

Mam graniastosłup o znanych wymiarach \(\displaystyle{ x, y, z}\). Mam również prostą o znanej długości \(\displaystyle{ L}\). Pytanie jest jak "pociąć" tę prostą aby stworzyła ona siatkę prostokątną wewnątrz graniastosłupa o wymiarach \(\displaystyle{ x, y, z}\). Jakie będą wymiary składowego sześcianu utworzonego przez tę siatkę wewnątrz tego graniastosłupa?
Czyli szukam \(\displaystyle{ a}\), jak na rysunku:

Znam \(\displaystyle{ x, y, z, L}\). Szukam \(\displaystyle{ }\)a.

Ewentualnie, składowy sześcian wcale nie musi być sześcianem, może być graniastosłupem o (szukanych) wymiarach \(\displaystyle{ a, b, c}\).

Byłabym wdzięczna za wskazówki i pomoc.
pozdr

[kerajs]

Z rysunku wynika że końce siatki leżą na ścianach graniastosłupa. Ilość odcinków tworzących siatkę jest liczbą naturalną. Co z sytuacją w której x,x,z są wymierne , a L niewymierna? Czy siatka może wychodzić poza prostopadłościan lub czy przyjmuje się wtedy że brak rozwiązania?

Gdyby istniała siatka sześcienna o boku ,,a' to musiałaby spełniać warunek:

\(\displaystyle{ L=\left( \frac{x}{a}-1 \right)\left( \frac{y}{a}-1 \right) \cdot z +\left( \frac{x}{a}-1 \right)\left( \frac{z}{a}-1 \right) \cdot y +\left( \frac{y}{a}-1 \right) \left( \frac{z}{a}-1 \right) \cdot x}\)
( Odcinek x w siatce o boku a dzielony jest na x/a odcinków. Z ich końców nożna wyprowadzić x/a +1 prostopadłych kresek siatki z których 2 leżą na ścianach prostopadłościanu. Stąd x/a -1 kresek siatki wychodzących z krawędzi x. )

Daje to równanie
\(\displaystyle{ L= \frac{3xyz}{a ^{2} }- \frac{2xy+2xz+2yz}{a} +x+y+z}\)

sprowadzane do równania kwadratowego
\(\displaystyle{ \left( x+y+z -L\right) \cdot a ^{2}-\left( 2xy+2xz+2yz\right) \cdot a +xyz=0}\)
Dodatkowym warunkiem istnienia tej siatki jest to aby ilorazy x/a, y/a i z/a były liczbami naturalnymi.


Gdyby siatka mogła wychodzić poza graniastosłup to spełniona powinna być nierówność
\(\displaystyle{ L \ge \left( \frac{x}{a}-1 \right)\left( \frac{y}{a}-1 \right) \cdot z +\left( \frac{x}{a}-1 \right)\left( \frac{z}{a}-1 \right) \cdot y +\left( \frac{y}{a}-1 \right) \left( \frac{z}{a}-1 \right) \cdot x}\)

Nie wiem czy choć a małym stopniu Ci pomogłem. Pozdrawiam.

[czarrna]

Super, wielkie dzięki za pomoc kerajs!

[czarrna]

Witam ponownie.

Jeszcze raz dziękuję za wzór i również za wskazówki/wyjaśnienia. BARDZO mi to pomogło.

Mam pytanie.
Czy zgodnie ze wskazówkami wyżej, jeśli teraz chciałabym obliczyć tę siatkę wraz z kreskami leżącymi na ścianach prostopadłościanu, to zamiast x/a-1 musiałoby być x/a+1 w tym początkowym wzorze na L?

Nie jestem orłem z matmy więc wolę się upewnić a to dla mnie ważny wzór

Z góry dziękuję.

[kerajs]

Masz rację, wystarczy dać tam plus.

Czyli, jesli istnieje siatka sześcienna o boku ,,a' zawierajaca także sciany graniastosłupa to:
\(\displaystyle{ L=\left( \frac{x}{a}+1 \right)\left( \frac{y}{a}+1 \right) \cdot z +\left( \frac{x}{a}+1 \right)\left( \frac{z}{a}+1 \right) \cdot y +\left( \frac{y}{a}+1 \right) \left( \frac{z}{a}+1 \right) \cdot x}\)
Co daje to równanie
\(\displaystyle{ L= \frac{3xyz}{a ^{2} }+ \frac{2xy+2xz+2yz}{a} +x+y+z}\)
sprowadzalne do równania kwadratowego
\(\displaystyle{ \left( x+y+z -L\right) \cdot a ^{2}+\left( 2xy+2xz+2yz\right) \cdot a +xyz=0}\)

[czarrna]

super extra, strasznie dziękuję za odpowiedź

Niech matematyczna moc wszechświatów będzie zawsze z Tobą!

pozdrawiam

[Dilectus]

Mam również prostą o znanej długości \(\displaystyle{ L}\).

Tu, niestety, mijasz się z prawdą, bo każda prosta jest nieskończenie długa, nie ma początku ani końca. Zapewne masz na myśli odcinek o długości \(\displaystyle{ L}\).