Dowód ze stereometrii

[kuba7687]

1. Uzasadnij, że jeśli punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) nie leżą w jednej płaszczyźnie, to prosta \(\displaystyle{ AB}\) nie przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C}\).

[bakala12]

Nie wprost. Załóżmy, że \(\displaystyle{ A,B,C}\) są współliniowe i niech leżą na prostej \(\displaystyle{ l}\). Ale wówczas niech \(\displaystyle{ k}\) będzie prostą równoległą do \(\displaystyle{ l}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ D}\). Proste \(\displaystyle{ k \ i \ l}\) leżą w pewnej płaszczyźnie, zatem punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) też należą do tej płaszczyzny. Sprzeczność dowodzi tezy.

[kuba7687]

Ja tu nie widzę związku dowodu z zadaniem...

[Gouranga]

jeśli punkty A B C D nie leżą na jednej płaszczyźnie, to znaczy, że 3 z nich wyznaczają płaszczyznę, do której nie należy czwarty
gdyby prosta AB przechodziła przez punkt C to te 3 punkty nie wyznaczałlyby płaszczyzny a dowolnie położony punkt D wraz z prostą AB wyznaczałby płaszczyznę zawierającą wszystkie punkty.

innymi słowy do dyspozycji masz 4 punkty i musisz wygenerować płaszczyznę + punkt poza nią co sprowadza się do wygenerowania płaszczyzny przez 3 punkty a 3 punkty generują płaszczyznę kiedy nie są współliniowe