Dirichlet, udowodnić odległość w sześcianie.

[GluEEE]

W sześcianie o boku 1 umieszczono 217 punktów. Wykaż, że istnieją 2 punkty odległe o co najwyżej 0.2.

[thom]

Narzuca się, aby podzielić sześcian na \(\displaystyle{ 6^3=216}\) mniejszych sześcianów, ale to daje dwa punkty odległe co najwyżej o długość przekątnej czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{6}>0,2}\). Czy w treści na pewno ma być \(\displaystyle{ 0,2}\)?

Przy tych danych, zadania nie da się rozwiązać (a przynajmniej ja nie widzę jak) korzystając nawet z bardzo silnego , które mówi, że najlepsza możliwa gęstość upakowania kul w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3\sqrt{2}}}\). Jeśli przypuścimy bowiem, rozumując standardowo, że w naszym sześcianie mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których każde dwa są odległe o więcej niż \(\displaystyle{ 0,2}\), to rozważając kule o środkach w tych punktach i promieniach \(\displaystyle{ 0,1}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych kul leżących w sześcianie o długości krawędzi \(\displaystyle{ 1,2}\). Gęstość wypełnienia tego sześcianu wynosi więc

\(\displaystyle{ d=\frac{n\cdot\frac{4}{3}\pi\frac{1}{10^3}}{\left(\frac{12}{10}\right)^3}}\),

co wobec twierdzenia Halesa (wystarczy rozważyć oczywiste pokrycie \(\displaystyle{ \RR^3}\) sześcianami o długości krawędzi \(\displaystyle{ 1,2}\) i powtarzać nasze upakowanie okresowo) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3\sqrt{2}}}\). Stąd jedynie dostaniemy nierówność \(\displaystyle{ n\leq 216\sqrt{2}}\), podczas gdy do sprzeczności potrzebowalibyśmy \(\displaystyle{ n\leq 216}\).

[GluEEE]

... dirichleta Tutaj jest to zadanie.

[bakala12]

Każdy bok sześcianu dzielę na 6 równych części i łącze tak, żeby powstało \(\displaystyle{ 6^{3}=216}\) sześcianów. Odległość między dwoma najdalej oddalonymi od siebie punktami w takim sześcianie to odległość między dwoma przeciwległymi wierzchołkami i wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{6}}\) co jest większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\)

To ma być to rozwiązanie? Szkoda że jest całkowicie błędne... Niczego tu nie udowodniono. Jestem prawie pewien, że można tak rozmieścić 217 punktów, żeby odległość pomiędzy dowolnymi dwoma jest ostro większa od \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\)

[thom]

To ma być to rozwiązanie? Szkoda że jest całkowicie błędne...

Zgadzam się - to jest właśnie problem, o którym pisałem na początku. Narzucająca się droga rozumowania oczywiście nie daje tezy z liczbą \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Jestem prawie pewien, że można tak rozmieścić 217 punktów, żeby odległość pomiędzy dowolnymi dwoma jest ostro większa od frac{1}{5}

Pewien może nie jestem, ale też tak podejrzewam. Zwłaszcza z uwagi na to, że nawet twierdzenie Halesa wydaje się tu niezbyt pomocne.

[bakala12]

twierdzenie Halesa

To jest jakaś mega armata na takie zadania
Coś być może podobnego:

[GluEEE]

Więc jak?

żeby odległość pomiędzy dowolnymi dwoma jest ostro większa od \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\)
O co tutaj chodzi? Chodzi o to, że po rozłożeniu punktów jest większa od 0.2?-- 8 wrz 2013, o 20:10 --Wykaż, że istnieją 2 punkty odległe o co najwyżej 0.2. To stwierdzenie oznacza, że każde dwa punkty muszą być od siebie o tyle oddzielone, czy może nie?

Bo jeśliby podzielić każdy bok sześcianu, to bok sześcianu będzie miał długość \(\displaystyle{ 1/6}\), co jest mniejsze od 0.2, tak?

[thom]

Wykaż, że istnieją 2 punkty odległe o co najwyżej 0.2. To stwierdzenie oznacza, że każde dwa punkty muszą być od siebie o tyle oddzielone, czy może nie?

Nie. Oznacza to, co oznacza. Podejrzewamy po prostu, że teza, którą napisałeś, jest nieprawdziwa czyli, że da się tak rozmieścić \(\displaystyle{ 217}\) punktów w sześcianie o krawędzi długości \(\displaystyle{ 1}\), że nie znajdziemy żadnej pary punktów odległej o co najwyżej \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Rozwiązanie znajdujące się pod linkiem, który podałeś, i o którym pisałem na początku, nie daje tezy ze stałą \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\), a jedynie z \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{6}>\frac{1}{5}}\).

[GluEEE]

A to, co napisałem o jednej szóstej?