kula wpisana w ostrosłup - stosunek objętości

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 26 sie 2013, o 13:57

W prawidłowym ostrosłupie trójkatnym miary kątów nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do podstawy ostrosłupa wynoszą odpowiednio: \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).
Oblicz stosunek objetosci ostrosłupa do objetosci kuli wpisanej w niego.
a-długość krawędzi podstawy

Z obliczeń wynika:
pole podstawy ostrosłupa: \(\displaystyle{ = \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
wysokość: \(\displaystyle{ \left| \frac{h}{ \frac{h _{1} }{3}}=\tg \beta \wedge \frac{h _{1} }{3}= \frac{a \sqrt{3} }{6} \right| \Rightarrow h=\frac{a\tg \beta \sqrt{3} }{6}}\)

\(\displaystyle{ \\}\) Więc objętość ostroslupa wynosi: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} \frac{a\tg \beta \sqrt{3} }{6}= \frac{a ^{3} \tg \beta }{24}}\)

Jak obliczyć promień kuli ?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 sie 2013, o 14:10

Feralne zadanie piąte z pierwszego etapu 6 Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH.
Być może troszeczkę informacji znajdziesz tutaj:
https://www.matematyka.pl/306465.htm
Z tego co pamiętam (to było rok temu) to objętość ostrosłupa wyszła Ci ok. Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) podany w zadaniu jest zupełnie niepotrzebny do jego rozwiązania.
A promień kuli wpisanej najlepiej obliczyć jako promień okręgu wpisanego w trójkąt będący przekrojem poprzecznym tego ostrosłupa.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 26 sie 2013, o 15:55

a ten przekrój poprzeczny jak ma wyglądać dokładnie ?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 sie 2013, o 16:42

Aj no źle przeczytałem bo myślałem że ostrosłup jest czworokątny. Jest on trójkątny (co właściwie nie ma wpływu na wzór) więc promień kuli wpisanej można policzyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ r= \frac{3V}{P _{c} }}\) gdzie \(\displaystyle{ V}\) oznacza objętość ostrosłupa, zaś \(\displaystyle{ P _{c}}\) to pole powierzchni całkowitej.
Wyprowadź ten wzór!

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 26 sie 2013, o 17:15

A jakaś podpowiedź, jak go wyznaczyć ?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 sie 2013, o 17:18

Środek sfery wpisanej dzieli dany ostrosłup na 4 czworościany. Wyznacz objętość każdego z nich, zsumuj i porównaj z objętością całego ostrosłupa

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 26 sie 2013, o 17:20

a to działa dla każdego ostrosłupa trójkątnego , czy tylko dla prawidłowego ?

edit. :

\(\displaystyle{ P_c=P_p + 3P_b \\
V_c= \frac{1}{3} V_p +\frac{1}{3}*3V_b = \frac{1}{3} V_p +V_b \setminus *3 \\
3V_c=P_P r + 3P_B r \\
3V_c=r(P_P+3P_B)\\ \Rightarrow r = \frac{3V_c}{P_c}}\)

cnd.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 sie 2013, o 17:32

Dla każdego ostrosłupa, nawet niekoniecznie trójkątnego.

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 26 sie 2013, o 17:39

Wielkie dzięki Wszystko jasne.