okrąg wpisany w czworokąt sferyczny

[BlueSky]

Przyjmujemy, że Ziemia jest kulą. Współrzędne geograficzne punktów \(\displaystyle{ A_0, A_1, A_2, A_3}\) wynoszą:
\(\displaystyle{ A_0=(0^{\circ}E, 45^{\circ}N)}\),
\(\displaystyle{ A_1=(90^{\circ}E, 45^{\circ}N)}\),
\(\displaystyle{ A_2=(180^{\circ}E, 45^{\circ}N)}\),
\(\displaystyle{ A_3=(90^{\circ}W, 45^{\circ}N)}\).
Czy równoleżnik szerokości geogr. \(\displaystyle{ 60^{\circ}N}\) jest okręgiem wpisanym w czworokąt sferyczny \(\displaystyle{ A_0 A_1 A_2 A_3}\)? Odpowiedź uzasadnij.

[Barbara777]

Tu cos w ogole dziwne, bo ten rownleznik nie lezy w plaszczyznie wyznaczonej przez dane punkty, wiec jak tu mozna mowic o tym, czy jest wpisany.
Ale. Jesli rozpatrzyc rzuty tych punktow i rzut rownoleznika szerokosci \(\displaystyle{ 60^{\circ}N}\) na np plaszczyzne, zawiarajaca rownik (czy jakakolwiek inna rownolegla do niej), to dostaniemy, odpowiednio, kwadrat o boku dlugosci \(\displaystyle{ R}\) (promien Ziemi) i okrag z promieniem dlugosci \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\), obie figury ze srodkiem symetrii polozonym w srodku kuli. Czyli przy takim rozpatrywaniu odpowiedz jest: tak.

[kinia7]

Czy równoleżnik szerokości geogr. \(\displaystyle{ 60^{\circ}N}\) jest okręgiem wpisanym w czworokąt sferyczny \(\displaystyle{ A_0 A_1 A_2 A_3}\)?

NIE.

Odpowiedź uzasadnij.

Środek łuku łączącego punkty \(\displaystyle{ A_0}\) i \(\displaystyle{ A_1}\) leży na równoleżniku \(\displaystyle{ \varphi}\) takim, że \(\displaystyle{ tg\varphi=\sqrt2<\sqrt3=tg60^o}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ \varphi<60^o}\)

Okręgiem wpisanym w ten czworokąt sferyczny jest równoleżnik szerokości geograficznej \(\displaystyle{ \approx 54,7^o}\)

[BlueSky]

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ tg\varphi=\sqrt{2}}\)?

[kinia7]

Jeżeli połączymy nasze 4 punkty odcinkami, to otrzymamy kwadrat o boku równym promieniowi Ziemi \(\displaystyle{ R}\).
Ten kwadrat będzie odległy od koła wielkiego, czyli płaszczyzny zawierającej równik, o \(\displaystyle{ \frac{R}{\sqrt2}}\).
Środek tego kwadratu, środek kuli i środek boku kwadratu utworzą trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(\displaystyle{ \frac R2}\) i \(\displaystyle{ \frac{R}{\sqrt2}}\), a przeciwprostokątna jest nachylona do płaszczyzny równika pod kątem \(\displaystyle{ \varphi}\), który wyznacza szerokość geograficzną środka łuku łączącego dwa punkty \(\displaystyle{ \(np.\ A_0\ i\ A_1\)}\)

stąd \(\displaystyle{ tg\varphi=\frac{\frac{R}{\sqrt2}}{\frac{R}{2}}}\)