V ostrosłupa

[magdabp]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego boki mają długości a, b, b. Wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i spodek wysokości ostrosłupa nalezy do jego podstawy. Oblicz objetość tego ostrosłupa.

[baksio]

Spodek wysokości tego ostrosłupa to środek okręgu opisanego na podstawie.
Policzmy promień tego okręgu ze wzoru
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P_{\Delta}}\)
Brakuje nam pola więc policzmy z tw. Pitagorasa wysokośc podstawy
\(\displaystyle{ h_p=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}}\)
Pole podstawy mamy brakuje nam teraz wysokości ostrosłupa możemy ją policzyć z trójkąta prostokątnego którego bokami są wysokość ostrosłupa, częśc tej środkowej która dzieli podstawę trójkąta na 2 części i wysokośc ściany bocznej.
Tą cześć środkowej (oznaczmy ją \(\displaystyle{ x}\) )wyliczymy z tego że :
\(\displaystyle{ h_p=R+x}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2b^2-a^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}}\)
i z tw. sinusów
\(\displaystyle{ \frac{x}{cos\alpha}=\frac{H}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ H=xtg\alpha}\)
\(\displaystyle{ H=\frac{2b^2-a^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}*tg\alpha}\)
Więc \(\displaystyle{ V=\frac{2ab^2-a^3}{12}*tg\alpha}\)