Mam problem z dwoma zadaniami.
1) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(\displaystyle{ a}\). Prosta łącząca punkt brzegu podstawy górnej z punktem brzegu podstawy dolnej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz odległość tej prostej od osi walca.
2) W kulę o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wpisano stożek, którego tworząca jest widoczna ze środka kuli pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz pole powierzchni całkowitej oraz objętość stożka.
Mógłby ktoś rozwiązać bądź nakierować jak wystartować z tymi zadankami.
Z góry dziękuje za pomoc.
Walec oraz kula
-
mdd
- Użytkownik
- Posty: 1897
- Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 512 razy
Walec oraz kula
Jeśli chodzi o zadanie nr 1.
Przydadzą się dwa rysunki pomocnicze.
1) Wyobraź sobie walec i pewną płaszczyznę, która jest równoległa do osi walca (a tym samym prostopadła do obu podstaw walca).
2) Przetnij walec tą płaszczyzną.
3) Zauważ, że częścią wspólną naszej płaszczyzny i naszego walca jest pewien prostokąt, którego przekątna jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i którego jeden z boków ma długość \(\displaystyle{ a}\) a drugi bok ma długość \(\displaystyle{ x}\).
Właśnie przekątna ta łączy punkt brzegu podstawy górnej z punktem brzegu podstawy dolnej walca.
Tak oto powstał jeden z rysunków pomocniczych
4) Teraz przetnij tak powstałą konstrukcję inną płaszczyzną, tym razem równoległą do obu podstaw walca.... ale oczywiście w ten sposób, żeby ta druga płaszczyzna przecinała i walec i tą pierwszą płaszczyznę jednocześnie.
Częścią wspólną tych trzech figur będzie teraz koło o średnicy \(\displaystyle{ a}\). Jeśli teraz na tym kole zaznaczysz "ślad" przecięcia się płaszczyzn to otrzymamy cięciwę o długości \(\displaystyle{ x}\).
Jeśli na powyższym obrazku poprowadzisz dodatkowo dwa promienie ze środka koła do końców wcześniej wspomnianej cięciwy to otrzymasz pewien trójkąt równoramienny, którego wysokość będzie równa odległości, o którą pytają w zadaniu.
Chyba jakoś tak to będzie(?)
Jeśli chodzi o zadanie nr 2 to wpisz stożek w kulę. Przetnij płaszczyzną tak powstałą konstrukcję w ten sposób by płaszczyzna ta przechodziła przez środek kuli i zawierała w sobie oś stożka. "Otrzymasz" wtedy obrazek, przedstawiający koło o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i wpisany trójkąt równoramienny. Jeśli poprowadzisz promienie ze środka koła do końców jednego z ramion wspomnianego trójkąta to kąt między tymi promieniami powinien dać kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), o którym jest mowa w zadaniu. Czy tak?
Przydadzą się dwa rysunki pomocnicze.
1) Wyobraź sobie walec i pewną płaszczyznę, która jest równoległa do osi walca (a tym samym prostopadła do obu podstaw walca).
2) Przetnij walec tą płaszczyzną.
3) Zauważ, że częścią wspólną naszej płaszczyzny i naszego walca jest pewien prostokąt, którego przekątna jest nachylona pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i którego jeden z boków ma długość \(\displaystyle{ a}\) a drugi bok ma długość \(\displaystyle{ x}\).
Właśnie przekątna ta łączy punkt brzegu podstawy górnej z punktem brzegu podstawy dolnej walca.
Tak oto powstał jeden z rysunków pomocniczych
4) Teraz przetnij tak powstałą konstrukcję inną płaszczyzną, tym razem równoległą do obu podstaw walca.... ale oczywiście w ten sposób, żeby ta druga płaszczyzna przecinała i walec i tą pierwszą płaszczyznę jednocześnie.
Częścią wspólną tych trzech figur będzie teraz koło o średnicy \(\displaystyle{ a}\). Jeśli teraz na tym kole zaznaczysz "ślad" przecięcia się płaszczyzn to otrzymamy cięciwę o długości \(\displaystyle{ x}\).
Jeśli na powyższym obrazku poprowadzisz dodatkowo dwa promienie ze środka koła do końców wcześniej wspomnianej cięciwy to otrzymasz pewien trójkąt równoramienny, którego wysokość będzie równa odległości, o którą pytają w zadaniu.
Chyba jakoś tak to będzie(?)
Jeśli chodzi o zadanie nr 2 to wpisz stożek w kulę. Przetnij płaszczyzną tak powstałą konstrukcję w ten sposób by płaszczyzna ta przechodziła przez środek kuli i zawierała w sobie oś stożka. "Otrzymasz" wtedy obrazek, przedstawiający koło o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i wpisany trójkąt równoramienny. Jeśli poprowadzisz promienie ze środka koła do końców jednego z ramion wspomnianego trójkąta to kąt między tymi promieniami powinien dać kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), o którym jest mowa w zadaniu. Czy tak?