Objętość ostrosłupa trójkątnego

[Samlor]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość \(\displaystyle{ 6}\), a kąty do niego
przyległe mają miary \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ 105 ^{\circ}}\)
Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia
okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci \(\displaystyle{ a+b \sqrt{c}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami wymiernym

Korzystam z tw. sinusów: \(\displaystyle{ \frac{6}{\sin30 ^{\circ} } =2R}\)
\(\displaystyle{ R=6}\)
\(\displaystyle{ a=6 \sqrt{2}}\)

natomiast \(\displaystyle{ c= 12\cdot\sin 105^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \sin 105^{\circ}= \sin(45 ^{\circ} +30 ^{\circ} )= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ c=3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot(3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2} ) \cdot \sin 45^{\circ}\cdot 12}\)

\(\displaystyle{ V=36+36 \sqrt{3}}\)

Proszę o sprawdzenie.

[mortan517]

Wydaje mi się, że jest źle. Nie wiem dokładnie gdzie u ciebie są \(\displaystyle{ a,b,c}\) więc proponuje ci podzielić podstawę na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. Wtedy wszystko ładnie wychodzi, ale to że \(\displaystyle{ R=H=6}\) jest dobrze.

[Samlor]

Wydaje mi się, że jest źle. Nie wiem dokładnie gdzie u ciebie są \(\displaystyle{ a,b,c}\) więc proponuje ci podzielić podstawę na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. Wtedy wszystko ładnie wychodzi, ale to że \(\displaystyle{ R=H=6}\) jest dobrze.

Inaczej mi wychodzi trochę c. Hm.. ciekawe

[mortan517]

Jak widzisz musiałeś popełnić gdzieś błąd, przybliż nam czym są a, b, c to pomożemy znaleźć ten błąd.

[Vether]

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot(3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2} ) \cdot \sin 45^{\circ}\cdot 12}\)

Tu jest błąd... Nie wiem, skąd wziąłeś \(\displaystyle{ 12}\) Wysokość wynosi \(\displaystyle{ 6}\), więc:

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot(3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2} ) \cdot \sin 45^{\circ}\cdot 6}\)

\(\displaystyle{ V=18+18 \sqrt{3}}\)


Pozdrawiam,
Vether

[Samlor]

c- to bok naprzeciw największego kąta( najdłuższy bok)
b- dany bok b=6

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot(3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2} ) \cdot \sin 45^{\circ}\cdot 12}\)

Tu jest błąd... Nie wiem, skąd wziąłeś \(\displaystyle{ 12}\) Wysokość wynosi \(\displaystyle{ 6}\), więc:

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot(3 \sqrt{6} +3 \sqrt{2} ) \cdot \sin 45^{\circ}\cdot 6}\)

Nie chodziło mi o to, ale o pola podstawy, lecz jak się okazało, pomyliłem się w obliczeniach i wychodzi tak samo.