Objętość kuli

[Peter Zof]

Płaszczyzny dwóch kół wielkich \(\displaystyle{ K_{1}}\) i \(\displaystyle{ K_{2}}\) jednej kuli są do siebie prostopadłe. Punkt \(\displaystyle{ A}\) należący do okręgu koła \(\displaystyle{ K_{1}}\) znajduje się w odległości \(\displaystyle{ 4}\) od płaszczyzny zawierającej koło \(\displaystyle{ K_{2}}\), a jego rzut prostokątny na tę płaszczyznę dzieli średnicę koła \(\displaystyle{ K_{2}}\) na odcinki, których długości pozostają w stosunku \(\displaystyle{ 1:4}\). Oblicz objętość kuli.

[loitzl9006]

Bez tytułu.png (7.56 KiB) Przejrzano 391 razy

Z treści zadania:
\(\displaystyle{ |AB|=4 \\ |DB|=4|BC|}\)

Można oznaczyć \(\displaystyle{ |BC|=x, \ |AS|=|DS|=r}\), wtedy \(\displaystyle{ |DB|=4x, \ \ |SB|=|DB|-|DS|=4x-r}\)

Jeszcze znajdujemy zależność pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ r}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ |DC|=|BC|+|DB|=5x}\), a to się równa średnicy czyli \(\displaystyle{ 2r}\), zatem \(\displaystyle{ 5x=2r}\).

Wyraź długość odcinka \(\displaystyle{ SB}\) wyłącznie za pomocą \(\displaystyle{ r}\), a potem wylicz promień kuli \(\displaystyle{ r}\) z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ ABS}\).

Odp. wg mnie to \(\displaystyle{ 166\frac23 \pi}\)