Do pojemnika w kształcie stożka o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ 60^o}\), w całości wypełnionego wodą włożono metalową kulę, której koło wielkie jest wpisane w przekrój osiowy stożka. Okazało się, że kula wyparła \(\displaystyle{ 108cm^3}\) wody. Ile wody wyprze mniejsza kula, dołożona w kąt stożka, tak, żeby sfera tej kuli była styczna do sfery większej kuli, ściany bocznej stożka i podstawy stożka.
Ile wody zostało w pojemniku, po włożeniu obu kul?
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ V _{wiekszej kuli}= \frac{4\pi r^3}{3} \Leftrightarrow r= \sqrt[3]{ \frac{3V _{wiekszej kuli}}{4\pi} } //
r=3 \sqrt[3]{ \frac{3}{\pi} } \\
H _{stozka}=3r=9\sqrt[3]{ \frac{3}{\pi} } \\
r _{duzej kuli} =3r _{malej kuli} \\
r _{malej kuli}= \frac{H _{stozka}}{9} \\
V _{malej kuli}= \frac{4\pi \cdot r _{malej kuli}^3}{3}= \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{H _{stozka}^3}{9^3} =\frac{4\pi}{3}\cdot \frac{3}{\pi} =4cm^3 \\
V _{stozka}= \frac{\pi r_{podstawy stozka}^3H_{stozka}}{3} \\
r_{podstawy stozka}\sqrt{3}=H_{stożka} \Leftrightarrow r_{podstawy stozka}= \frac{\sqrt{3}H_{stozka}}{3} \\
V_{stozka}= \frac{\pi \cdot (\frac{H_{stozka}\sqrt{3}}{3})^2\cdot H_{stozka} }{3} = \frac{\pi H_{stozka}^3}{9}=243cm^3 \\
V_{stozka} -(V_{malej kuli} + V_{duzej kuli})=243cm^3-(108cm^3+4cm^3)=131cm^3}\)
Proszę o sprawdzenie.