1. Przekrój graniastosłupa prostego trójkątnego jest trójkątem prostokątnym o bokach długości 3, 4 i 5 oraz kacie nachylenia do płaszczyzny podstawy równym 30 stopni. Oblicz objętość graniastosłupa ( mam do tego rysunek pomocniczy i przekrój wychodzi od krawędzi podstawy o długości 3 i kończy się wierzchołkiem przeciwległym do tej krawędzi już w podstawie górnej)
Obrazek:
2. Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i podstawie \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\). Kat miedzy przekątna ściany bocznej zawierająca podstawę tego trójkąta a sąsiednia ściana boczna jest równą 45 stopni oblicz wysokość tego graniastosłupa.
Doszedłem do takiego równania, ale nie umiem go rozwiązać
\(\displaystyle{ 25= H^2+20+25+H^2-2* \sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}* \frac{ \sqrt{2} }{2}}\):
Przekrój graniastosłupa prostego trójkątnego
-
Marcgal
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 14 maja 2011, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 6 razy
Przekrój graniastosłupa prostego trójkątnego
Może wkleiłbyś rysunek? Byłoby wygodniej.-- 7 kwi 2013, o 17:48 --No więc tak:
1) Naniosłem na Twój rysunek oznaczenia literowe wierzchołków, dla wygody.
Podstawa to trójkąt prostokątny. (\(\displaystyle{ BF\perp AB}\), a BC jest rzutem prostokątnym BF na płaszczyznę podstawy, więc \(\displaystyle{ AB\perp BC}\))
\(\displaystyle{ \angle CBF=30^\mbox{\circ}}\) (kąt między płaszczyznami. uwaga \(\displaystyle{ \angle CSF\neq30^\mbox{\circ}}\)!). Mamy \(\displaystyle{ \triangle BCF}\), o kątach \(\displaystyle{ 30^\mbox{\circ}-60^\mbox{\circ}-90^\mbox{\circ}}\).
Z zależności w takim trójkącie:
* \(\displaystyle{ \left| BC\right| =\frac{4\sqrt3}2= 2\sqrt3}\)
* \(\displaystyle{ \left| CF\right| =\frac43=2}\)
\(\displaystyle{ V_{graniast}=P_{podst}\cdot H=\frac{\left| AB\right| \cdot\left| BC\right| }2\cdot\left| CF\right| =\frac {3\cdot2\sqrt{3}}2\cdot2=6\sqrt{3}}\).
Tak bym to przynajmniej widział, ale lojalnie ostrzegam, że stereometrii troszkę już zapomniałem...
2. Poprawności równania nie sprawdzałem, ale rozwiązanie jest takie (zakładając, że się nie pomyliłem rachunkowo ;P):
\(\displaystyle{ 25= H^2+20+25+H^2-2\cdot \sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}\\2\cdot \sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}=2H^2+20\\\sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}=\frac2{\sqrt2}H^2+\frac{20}{\sqrt2}\\\sqrt{H^4+45H^2+500}=\sqrt{2}H^2+10\sqrt{2}\left/()^2\right.\\H^4+45H^2+500=\sqrt{2}H^2+10\sqrt{2}\\H^4+\left(45-\sqrt{2}\right)H^2+500-10\sqrt2=0}\)
podstawiasz sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=H^2}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe. Tylko uważaj na rozwiązania obce!
BTW jakieś pokomplikowane to równanie, jak do niego doszedłeś?
1) Naniosłem na Twój rysunek oznaczenia literowe wierzchołków, dla wygody.
Podstawa to trójkąt prostokątny. (\(\displaystyle{ BF\perp AB}\), a BC jest rzutem prostokątnym BF na płaszczyznę podstawy, więc \(\displaystyle{ AB\perp BC}\))
\(\displaystyle{ \angle CBF=30^\mbox{\circ}}\) (kąt między płaszczyznami. uwaga \(\displaystyle{ \angle CSF\neq30^\mbox{\circ}}\)!). Mamy \(\displaystyle{ \triangle BCF}\), o kątach \(\displaystyle{ 30^\mbox{\circ}-60^\mbox{\circ}-90^\mbox{\circ}}\).
Z zależności w takim trójkącie:
* \(\displaystyle{ \left| BC\right| =\frac{4\sqrt3}2= 2\sqrt3}\)
* \(\displaystyle{ \left| CF\right| =\frac43=2}\)
\(\displaystyle{ V_{graniast}=P_{podst}\cdot H=\frac{\left| AB\right| \cdot\left| BC\right| }2\cdot\left| CF\right| =\frac {3\cdot2\sqrt{3}}2\cdot2=6\sqrt{3}}\).
Tak bym to przynajmniej widział, ale lojalnie ostrzegam, że stereometrii troszkę już zapomniałem...
2. Poprawności równania nie sprawdzałem, ale rozwiązanie jest takie (zakładając, że się nie pomyliłem rachunkowo ;P):
\(\displaystyle{ 25= H^2+20+25+H^2-2\cdot \sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}\\2\cdot \sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}=2H^2+20\\\sqrt{(H^2+20)(H^2+25)}=\frac2{\sqrt2}H^2+\frac{20}{\sqrt2}\\\sqrt{H^4+45H^2+500}=\sqrt{2}H^2+10\sqrt{2}\left/()^2\right.\\H^4+45H^2+500=\sqrt{2}H^2+10\sqrt{2}\\H^4+\left(45-\sqrt{2}\right)H^2+500-10\sqrt2=0}\)
podstawiasz sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=H^2}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe. Tylko uważaj na rozwiązania obce!
BTW jakieś pokomplikowane to równanie, jak do niego doszedłeś?