Najmniejsza powierzchnia całkowita - prostopadłościan

[bosh]

Pomoglibyście z zadaniem:

Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i objętości \(\displaystyle{ 125 cm ^{2}}\) ma najmniejszą powierzchnię całkowitą. Obliczyć pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu oraz objętość kuli na nim opisanej.

[lukasz1804]

Na podstawie wzoru na objętość mamy \(\displaystyle{ x^2y=125}\), a ze wzoru na pole powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ P=2x^2+4xy}\). Stąd dostajemy wzór na pole jako funkcję krawędzi podstawy \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ P(x)=2x^2+\frac{500}{x}}\)

Sprawdź, że najmniejsze pole jest realizowane dla \(\displaystyle{ x=5}\) (zatem prostopadłościan jest sześcianem). Oblicz to pole.
Promień kuli opisanej na tym sześcianie to połowa przekątnej sześcianu.