Pola powierzchni kul

[Rewop]

Mamy objętości kul \(\displaystyle{ V_{1}, \ V_{2}, \ V_{3}}\) takie, że \(\displaystyle{ V_{1}=V_{2}+V_{3}}\). 1, 2, 3 to oznaczenia kul. Kula 1 ma najdłuższy promień. Zakładam, że kule maja promień większy od "zera". Jak się ma pole \(\displaystyle{ P_{1}}\) do \(\displaystyle{ P_{2}+P_{3}}\)?

[matmatmm]

Coś mi się wydaje, że ten stosunek będzie jednak zależał od promieni, ale może się mylę.

[mechatronik300]

\(\displaystyle{ V= \frac{4}{3} \pi r ^{3}}\) ; \(\displaystyle{ P=4 \pi r ^{2}}\)
jeśli:
\(\displaystyle{ V _{1} = V _{2} + V _{3}}\)
to:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi r ^{3} _{1} = \frac{4}{3} \pi r ^{3} _{2} + \frac{4}{3} \pi r ^{3} _{3}}\)
Z tego wynika że:
\(\displaystyle{ r _{1}= \sqrt[3]{r ^{3} _{2} + r ^{3} _{3} }}\)
Zakładamy że:
\(\displaystyle{ P _{1} < P _{2} + P _{3}}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ 4 \pi r ^{2} _{1} < 4 \pi r ^{2} _{2} + 4 \pi r ^{2} _{3}}\)
Dostajemy:
\(\displaystyle{ r ^{2} _{1} < r ^{2} _{2} + r ^{2} _{3}}\)
Wyliczamy \(\displaystyle{ r _{1}}\):
\(\displaystyle{ r _{1} = \sqrt{ r ^{2} _{2} + r ^{2} _{3}}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ r _{1}}\) z poprzedniej zależności:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{r ^{3} _{2} + r ^{3} _{3} } < \sqrt{ r ^{2} _{2} + r ^{2} _{3}}}\)
Z tego wynika że:
\(\displaystyle{ P _{1} < P _{2} + P _{3}}\)

[Rewop]

A możesz mechatronik300, wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ \sqrt[3]{r ^{3} _{2} + r ^{3} _{3} } < \sqrt{ r ^{2} _{2} + r ^{2} _{3}}}\) jest prawdziwe? Jakoś to rozpisać "łopatologicznie".

[mechatronik300]

Możesz sobie podstawić kilka wartości po prostu. Ta nierówność jest zawsze prawdziwa jeśli założymy że promienie są zawsze większe od zera.
Jak widać to co stało przy promieniach nam się skróciło więc objętość i powierzchnia zależą jedynie od promienia. Mamy założenie sztywne tyczące się objętości no tak jak to podstawiłem i liczyłem wyszło że przy takim założeniu tak się będzie "zachowywało" pole powierzchni.-- 25 mar 2013, o 12:52 --Moim zdaniem już tego inaczej nie ma sensu rozpisywać po prostu pokazać dla kilku wartości

[Rewop]

Tylko podstawianie kilku wartości to indukcja a ja chce wiedzieć jak jest dla wszystkich promieni większych od zera. Możesz wskazać mi na mocy czego ta nierówność jest prawdziwa?

[mechatronik300]

Podstawienie kilku wartości to podstawienie kilku wartości indukcja do udowodnienie że to zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) sądzę że można to udowodnić indukcyjnie przy założeniu że \(\displaystyle{ n,m \in N _{+} \subset R _{+}}\). Po udowodnieniu (którego nie będę robił bo moim zdaniem nie ma to sensu) można stwierdzić, że na mocy indukcji matematycznej zachodzi ww nierówność dla \(\displaystyle{ r _{2} \ge 1}\) ,\(\displaystyle{ r _{3} \ge 1}\).-- 25 mar 2013, o 13:37 --albo przerobić to na ciągi i pokazać że iloraz ciągów jest mniejszy od 1.

[Rewop]

Czyli \(\displaystyle{ m=r_{3} \wedge n=r_{2}}\) i to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej? Jak to można przerobić na ciągi?

[mechatronik300]

Tak to trzeba zbadać indukcją jak widzisz jest to wyrażenie posiadające dwie zmienne i nie jest to takie proste. Przerabiając na ciąg było by to :
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[3]{n ^{3} + m ^{3} }}{ \sqrt{n ^{2} + m ^{2} } } < 1}\)
żeby się pozbyć \(\displaystyle{ m}\) w obu przypadkach można założyć że: \(\displaystyle{ m \neq n}\) i \(\displaystyle{ m=n+1}\) bo w końcu jesteśmy teraz w zbiorze \(\displaystyle{ N}\). I następnie zrobić takie samo założenie w drugą stronę i udowodnić to jeszcze raz bo w końcu nie wiemy który promień jest większy. Chodź drugi dowód (ten w drugą stronę) można sobie chyba darować bo dodajemy dwie dodatnie liczby a dodawanie jest przemienne.-- 25 mar 2013, o 14:30 --Albo jeszcze lepiej zbadaj granicę tego ilorazu tylko podstaw \(\displaystyle{ m=n+1}\) i zobaczysz że jak będziesz z \(\displaystyle{ n}\) szedł do nieskończoności to wyrażenie będzie dążyć do 1 ale nigdy go nie osiągnie z tego wynika to co chcesz udowodnić.

[Rewop]

Szczerze to nie za bardzo mi pasuje to udowodnienie tylko dla \(\displaystyle{ n \in N \wedge m \in N}\)

[yorgin]

A możesz mechatronik300, wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ \sqrt[3]{r ^{3} _{2} + r ^{3} _{3} } < \sqrt{ r ^{2} _{2} + r ^{2} _{3}}}\) jest prawdziwe? Jakoś to rozpisać "łopatologicznie".

Podnieś obie strony do szóstej potęgi. Potem redukcja i grupowanie.

[mechatronik300]

Założyliśmy że \(\displaystyle{ m,n}\) nalezą do liczb naturalnych by zrobić z niech ciągi, badając granicę ilorazu tych ciągów udowadniamy to co nam trzeba, więc co stoi na przeszkodzie by zbadać granicę funkcji dla liczb rzeczywistych? Potrzebna jest nam nowa zmienna np \(\displaystyle{ x \in R}\) i dostaniemy funkcję. Ta różnica polega na tym że dla ciągu nic się nie dzieje pomiędzy kolejnymi \(\displaystyle{ n}\) bo ciągu tam po prostu nie ma a jeśli zamiast \(\displaystyle{ n}\) weźmiesz \(\displaystyle{ x \in R}\) i masz pewność że ta funkcja (iloraz) nie osiągnie 1.

[Rewop]

Otrzymuje \(\displaystyle{ 3a^{2}+3b^{2}-2ab>0}\) i dale nie potrafię.

[yorgin]

\(\displaystyle{ 3a^2+3b^2-2ab=(a-b)^2+2a^2+2b^2}\)

[Rewop]

Mam to na kartce i tego nie zauważyłem. Jestem idiotą. Dzięki wszystkim.