Objętość czwrorościanu

[prestigever]

W czworościanie \(\displaystyle{ ABCS}\) dane są długości krawędzi \(\displaystyle{ |AS|=1, |BS|=2, |CS|=3}\) oraz wiadomo, że kąt \(\displaystyle{ ASB}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ BSC}\) oraz kątowi \(\displaystyle{ CSA}\), których miara wynosi po \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Oblicz objętość czworościanu.

[lukasz1804]

Korzystając z twierdzenia kosinusów w trójkątach \(\displaystyle{ ABS, BCS, ACS}\) oblicz długości wszystkich krawędzi podstawy ostrosłupa. Stąd i ze wzoru Herona wyznacz pole podstawy \(\displaystyle{ ABC}\).

Zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ ABS}\) jest prostokątny (na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa). Krawędź \(\displaystyle{ AS}\) jest zatem wysokością ostrosłupa.

Na podstawie obliczonego pola podstawy i danej długości wysokości ostrosłupa oblicz jego objętość.