Witajcie,
Może ma ktoś pomysł jak rozwiązać to zadanie? Poprosiłbym o rysunek (nie widzę jakoś tego) oraz schemat rozwiązania...
Zadanie: W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym kąt nachylenia krótszej przekątnej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), taki że \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{8 \sqrt{3}}{3}}\). Wiedząc, że objętość graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 12 \sqrt{3}}\)oblicz długość krótszej przekątnej graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
Dziękuję ...
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Oznacz sobie krawędź podstawy graniastosłupa jako \(\displaystyle{ a}\), i przypomnij sobie wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\) - w ten sposób zapiszesz długość tej czerwonej linii w zależności od \(\displaystyle{ a}\). Z podanego w zadaniu tangensa uzależnisz wysokość bryły od \(\displaystyle{ a}\).
I teraz przyszedł czas na wykorzystanie informacji o objętości bryły. Masz zarówno pole podstawy (przypominam, sześciu trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ a}\)), jak i wysokość bryły, zapisane przy pomocy \(\displaystyle{ a}\), zatem przyrównując objętość czyli iloczyn pola podstawy i wysokości bryły do \(\displaystyle{ 12\sqrt3}\) masz do rozwiązania równanie 3-go stopnia z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\).
Jak uda Ci się rozwiązać to równanie, to z Pitagorasa wystarczy policzyć długość szukanej przekątnej (gruba, czerwona linia na rysunku powyżej) i na końcu pole boczne (\(\displaystyle{ 6}\) ścian bocznych + \(\displaystyle{ 2}\) podstawy).
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Dzięki ... Zrozumiałem, ale coś nie idzie mi rozwiązanie tego równania z objętości ... wychodzi mi, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{3}}\)
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Coś musiałeś sknocić; jaką masz wysokość graniastosłupa? Ja mam \(\displaystyle{ 8a}\).
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Po kolei: ten czerwony (cienki) odcinek to dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\) - czyli \(\displaystyle{ 2\cdot \frac{a\sqrt3}{2} =a\sqrt3}\). Następnie z tego czerwonego trójkąta wynika, że \(\displaystyle{ \tg\alpha= \frac{H}{a\sqrt3}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt3}{3}= \frac{H}{a\sqrt3}}\) gdzie \(\displaystyle{ H}\) to wysokość graniastosłupa. Po przekształceniach wychodzi \(\displaystyle{ H=8a}\).