graniastosłup prawidłowy sześciokątny

[dawkat]

Witajcie,

Może ma ktoś pomysł jak rozwiązać to zadanie? Poprosiłbym o rysunek (nie widzę jakoś tego) oraz schemat rozwiązania...

Zadanie: W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym kąt nachylenia krótszej przekątnej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), taki że \(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{8 \sqrt{3}}{3}}\). Wiedząc, że objętość graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 12 \sqrt{3}}\)oblicz długość krótszej przekątnej graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.

Dziękuję ...

[loitzl9006]

Bez tytułu2.png (2.83 KiB) Przejrzano 3582 razy

skorzystaj z tego, że masz w podstawie sześciokąt foremny. Może narysuj sobie taki sześciokąt, a następnie poprowadź w nim wszystkie możliwe przekątne. Zobaczysz, że podzielił się na sześć małych trójkątów równobocznych. Powinieneś wtedy skojarzyć, że ten odcinek który narysowałem cienką czerwoną linią, to tak naprawdę dwie wysokości takiego małego trójkąta równobocznego.
Oznacz sobie krawędź podstawy graniastosłupa jako \(\displaystyle{ a}\), i przypomnij sobie wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\) - w ten sposób zapiszesz długość tej czerwonej linii w zależności od \(\displaystyle{ a}\). Z podanego w zadaniu tangensa uzależnisz wysokość bryły od \(\displaystyle{ a}\).
I teraz przyszedł czas na wykorzystanie informacji o objętości bryły. Masz zarówno pole podstawy (przypominam, sześciu trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ a}\)), jak i wysokość bryły, zapisane przy pomocy \(\displaystyle{ a}\), zatem przyrównując objętość czyli iloczyn pola podstawy i wysokości bryły do \(\displaystyle{ 12\sqrt3}\) masz do rozwiązania równanie 3-go stopnia z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\).
Jak uda Ci się rozwiązać to równanie, to z Pitagorasa wystarczy policzyć długość szukanej przekątnej (gruba, czerwona linia na rysunku powyżej) i na końcu pole boczne (\(\displaystyle{ 6}\) ścian bocznych + \(\displaystyle{ 2}\) podstawy).

[dawkat]

Dzięki ... Zrozumiałem, ale coś nie idzie mi rozwiązanie tego równania z objętości ... wychodzi mi, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{3}}\)

[loitzl9006]

Coś musiałeś sknocić; jaką masz wysokość graniastosłupa? Ja mam \(\displaystyle{ 8a}\).

[dawkat]

A jak Ci wyszło 8a?

[loitzl9006]

Po kolei: ten czerwony (cienki) odcinek to dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\) - czyli \(\displaystyle{ 2\cdot \frac{a\sqrt3}{2} =a\sqrt3}\). Następnie z tego czerwonego trójkąta wynika, że \(\displaystyle{ \tg\alpha= \frac{H}{a\sqrt3}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt3}{3}= \frac{H}{a\sqrt3}}\) gdzie \(\displaystyle{ H}\) to wysokość graniastosłupa. Po przekształceniach wychodzi \(\displaystyle{ H=8a}\).

[dawkat]

Wszystko już jest oki!!

Alles klar!!