objętość ostrosłupa

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 23 lut 2013, o 21:49

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Odległość środka podstawy ostrosłupa od krawędzi bocznej jest równa d. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz objętość ostrosłupa.

Niestety nie mam pojęcia jak zabrać się za to zadanie. Chyba nawet rysunek zły sporządziłem:

Proszę o pomoc!
Pozdrawiam

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 23 lut 2013, o 21:53

Odległość od krawędzi bocznej... rozróżniaj. nie od krawędzi podstawy.
Masz zły rysunek. Rysujesz odległość od punktu \(\displaystyle{ S'}\) do krawędzi np. \(\displaystyle{ AS}\). Masz mały trójkąt, a w nim \(\displaystyle{ d}\) i kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
Z takim rysunkiem jak masz tutaj nie zrobisz NIC. Pamiętaj, jak zaczniesz głupoty robić na początku to najczęściej nie wyjdziesz z tego

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 23 lut 2013, o 23:14

czy ten w takim razie jest dobry?

Policzyłem też długość \(\displaystyle{ |AS'| = \frac{d}{\sin \alpha}}\)

dzięki temu policzyłem \(\displaystyle{ a = \frac{d \sqrt{3} }{\sin \alpha}}\)

Brakuje mi jeszcze wysokości, ale tego to już nie wiem jak policzyć...

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 23 lut 2013, o 23:20

Hej. Masz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Zastanów się teraz jak możesz go użyć. Spróbuj narysować sobie przekrój \(\displaystyle{ AS'S}\). Masz w nim kąt, oraz odcinek \(\displaystyle{ AS'}\). Jest to trójkąt równoboczny w podstawie, zastanów się jaka będzie to część jego wysokości. \(\displaystyle{ a}\) masz obliczone, wykorzystaj je. Dalej powinno pójść z górki W razie czego pisz.

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 23 lut 2013, o 23:23

\(\displaystyle{ H = \frac{d}{\cos \alpha}}\)

ale zanim doszedłem do tego że trzeba skorzystać z tego wzoru:\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\) trochę minęło.

Teraz już sobie chyba poradzę. dzięki wielkie!

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 23 lut 2013, o 23:27

A skąd to wyszło? Może jestem zmęczony, ale nie mam pojęcia skąd to. Chodziło mi raczej o wyznaczenie tego odcinka \(\displaystyle{ AS'}\) i wtedy uzycie funkcji trygonometrycznej. Tak to robiłeś?

Ok, przekształciłem sobie - masz dobrze

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 23 lut 2013, o 23:55

Już nie będę zakładał nowego tematu, nie wiem tylko jak wyznaczyć wysokość tego ostrosłupa:

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej 12 i kącie ostrym \(\displaystyle{ 30^o}\). Wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 60^o}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Pomoże ktoś?

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 23 lut 2013, o 23:57

Hej, to znowu ja. Niezbędna tu będzie wiedza o tym, spodek wysokości w sytuacji gdy wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa nachylone są pod tym samym kątem znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej. Dasz radę?
Czyli: zły rysunek. Zanim zabierzesz się do zadań musisz sobie przyswoić te twierdzenia.
Jakbyś miał problem - pisz.

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 24 lut 2013, o 00:14

Ok, dzięki raz jeszcze! Nie wiedziałem o tej własności.
Pozdrawiam

PS. znasz jakąś stronę gdzie są opisane wszystkie te ważniejsze twierdzenia/własności?

anna_ · Post autor: **anna_** » 24 lut 2013, o 00:21

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe (lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty), to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.

Jeśli wszystkie ściany boczne ostrosłupa tworzą z podstawą równe kąty (lub jeśli wysokości wszystkich ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa, są równe), to w podstawę ostrosłupa można wpisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.