ostrosłup przecięty płaszczyzną, wyznaczenie pola przekroju

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 22 lut 2013, o 16:14

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa h, zaś krawędź podstawy a. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną AC podstawy ostrosłupa i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz pole otrzymanego przekroju.

Na razie proszę kogoś o sporządzenie rysunku bo nie potrafię tego sobie wyobrazić. Może wtedy coś zauważę.

Pozdr!

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 22 lut 2013, o 16:35

: ostrosłupek 3D.png (19.93 KiB) Przejrzano 774 razy

: ostrosłupek 2D.png (8.34 KiB) Przejrzano 772 razy

Pozdrawiam!

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 22 lut 2013, o 20:30

Dzięki wielkie @wujomaro
Ok, chyba jakoś dałem sobie teraz radę, ale proszę o sprawdzenie:

E' - rzut prostokątny punktu E na płaszczyznę podstawy
\(\displaystyle{ |EO| = x\\
|EE'| = x \sin \alpha \\
|OE'| = x \cos \alpha}\)

Trójkąty OBS i E'BE są podobne, więc:

\(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} } = \frac{x \sin \alpha }{\frac{a \sqrt{2} }{2} - x \cos \alpha }}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ah \sqrt{2} }{ a\sqrt{2} \sin \alpha + 2h \cos \alpha }}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{ha^2}{2a \sqrt{2} \sin \alpha + 4h \cos \alpha}}\)

Wszystko dobrze?

Dodam może że w książce jest inna odpowiedź.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 22 lut 2013, o 20:40

Zdaje się, że wszystko jest ok. Zauważ, że przy wyliczeniu \(\displaystyle{ x}\) możesz w mianowniku wyłączyć przez nawias \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i skrócić z licznikiem.
Pozdrawiam!

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 22 lut 2013, o 20:42

Ok tak zrobię.
Dzięki wielki raz jeszcze!
Pozdrawiam!

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 22 lut 2013, o 20:44

A jaka jest odpowiedź w książce?
Edit: Mam inne pole niż to teraz w Twoim poście.

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 22 lut 2013, o 21:01

W książce jest:
\(\displaystyle{ P= \frac{ha^2}{2h\cos \alpha + \sqrt{2}a\sin \alpha}}\)

po ponownym wyliczeniu wychodzi mi dokładnie takie pole:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=P+%3D+1%2F2*a%E2%88%9A2%2F2*ha%2F%28a+sin%28x%29%2Bh%E2%88%9A2+cos%28x%29%29*sin%28x%29

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 22 lut 2013, o 21:07

Ja też mam takie pole.
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{ah}{a \sin \alpha + \sqrt{2}h \cos \alpha} = \frac{a^{2}h \sqrt{2}}{2\left( a \sin \alpha + h \sqrt{2} \cos \alpha\right) } = \frac{a^{2}h}{2h \cos \alpha + a \sqrt{2} \sin \alpha}}\)
Pozdrawiam!

unn4m3nd · Post autor: **unn4m3nd** » 22 lut 2013, o 21:31

Ano taa. Liczyłem pole nie tego trójkąta. Chodziło oczywiście o trójkąt ACE.