Ostrosłup ścięty
-
18kasia18
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 13 lut 2013, o 21:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Ostrosłup ścięty
Podstawami prawidłowego ostrosłupa ściętego są kwadraty o bokach a i b (a>b). Krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznaczyć objętość ostrosłupa ściętego oraz kąty dwuścienne przy podstawie.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Ostrosłup ścięty
??? ostrosłup ma jedną podstawę...Podstawami prawidłowego ostrosłupa ściętego (...)
-
18kasia18
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 13 lut 2013, o 21:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Ostrosłup ścięty
Ostrosłup ścięty ma dwie chyba. To jest dokładna treść zadania przepisana z książki.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Ostrosłup ścięty
Rzeczywiście, pomyliło mi się.
Rozważ dwa przypadki:
1) Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a przekątną dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a}\)
2) Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a przekątną krótszej podstawy \(\displaystyle{ b}\)
Do policzenia objętości potrzebujesz wysokości bryły \(\displaystyle{ H}\). Narysuj sobie trapez prostokątny w którym :
1) wysokością będzie szukane \(\displaystyle{ H}\),
dłuższa podstawa to połowa dłuższej przekątnej czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2} a}\),
krótsza podstawa to połowa krótszej przekątnej czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2} b}\),
kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) między dłuższą podstawą trapezu a jego (ukośnym) ramieniem.
2) wszystko jak w 1), ale
kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) między krótszą podstawą trapezu a jego (ukośnym) ramieniem.
1) Do znalezienia \(\displaystyle{ H}\) wykorzystaj funkcje trygonometryczne (np. tangensa). Skorzystaj np z tego, że \(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{H}{ \frac{\sqrt2}{2} (a-b) }}\) z tego wyliczasz \(\displaystyle{ H}\).
Następnie, jak masz ten trapez, przedłuż jego ramiona tak aby się zbiegły w jednym punkcie - utworzy się trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 90^\circ - \alpha}\). Oznacz przedłużenie wysokości \(\displaystyle{ H}\) jako \(\displaystyle{ x}\), i z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+H} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}b}{\frac{\sqrt2}{2}a}}\)
skracasz co się da, wyznaczasz iksa, potem objętość obliczasz:
\(\displaystyle{ V=\frac13a^2 \cdot \left( H+x\right) -\frac13b^2x}\) (duży "normalny" ostrosłup minus mały)
Drugi przypadek podobnie
Kąty dwuścienne - wygodnie będzie sobie dorysować "dalszy ciąg" ostrosłupa czyli tak żeby nie był ścięty, wtedy policzyć pole ścianki bocznej (trójkąta), znając pole ścianki bocznej, można znaleźć wysokość \(\displaystyle{ h_2}\) tego trójkąta, jeżeli za jego podstawę uznamy krawędź boczną "całego" ostrosłupa (znaną).
Jak już policzysz \(\displaystyle{ h_2}\), to kąt dwuścienny znajdziesz, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie o bokach
- przekątna dłuższej podstawy ostrosłupa
- \(\displaystyle{ h_2}\),
- \(\displaystyle{ h_2}\).
Rozważ dwa przypadki:
1) Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a przekątną dłuższej podstawy \(\displaystyle{ a}\)
2) Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a przekątną krótszej podstawy \(\displaystyle{ b}\)
Do policzenia objętości potrzebujesz wysokości bryły \(\displaystyle{ H}\). Narysuj sobie trapez prostokątny w którym :
1) wysokością będzie szukane \(\displaystyle{ H}\),
dłuższa podstawa to połowa dłuższej przekątnej czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2} a}\),
krótsza podstawa to połowa krótszej przekątnej czyli \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2} b}\),
kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) między dłuższą podstawą trapezu a jego (ukośnym) ramieniem.
2) wszystko jak w 1), ale
kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) między krótszą podstawą trapezu a jego (ukośnym) ramieniem.
1) Do znalezienia \(\displaystyle{ H}\) wykorzystaj funkcje trygonometryczne (np. tangensa). Skorzystaj np z tego, że \(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{H}{ \frac{\sqrt2}{2} (a-b) }}\) z tego wyliczasz \(\displaystyle{ H}\).
Następnie, jak masz ten trapez, przedłuż jego ramiona tak aby się zbiegły w jednym punkcie - utworzy się trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 90^\circ - \alpha}\). Oznacz przedłużenie wysokości \(\displaystyle{ H}\) jako \(\displaystyle{ x}\), i z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+H} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}b}{\frac{\sqrt2}{2}a}}\)
skracasz co się da, wyznaczasz iksa, potem objętość obliczasz:
\(\displaystyle{ V=\frac13a^2 \cdot \left( H+x\right) -\frac13b^2x}\) (duży "normalny" ostrosłup minus mały)
Drugi przypadek podobnie
Kąty dwuścienne - wygodnie będzie sobie dorysować "dalszy ciąg" ostrosłupa czyli tak żeby nie był ścięty, wtedy policzyć pole ścianki bocznej (trójkąta), znając pole ścianki bocznej, można znaleźć wysokość \(\displaystyle{ h_2}\) tego trójkąta, jeżeli za jego podstawę uznamy krawędź boczną "całego" ostrosłupa (znaną).
Jak już policzysz \(\displaystyle{ h_2}\), to kąt dwuścienny znajdziesz, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie o bokach
- przekątna dłuższej podstawy ostrosłupa
- \(\displaystyle{ h_2}\),
- \(\displaystyle{ h_2}\).
-
18kasia18
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 13 lut 2013, o 21:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Ostrosłup ścięty
Tylo czy to już jest całe zadanie, bo ja się na tym nie znam, i to jest zadanie dla kolegi.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Ostrosłup ścięty
Przekrojem tego ostrosłupa przez przekątne podstaw jest trapez równoramienny o podstawach \(\displaystyle{ a\sqrt2}\) i \(\displaystyle{ b\sqrt2}\).
Ramiona są pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), więc wysokość trapezu (a zarazem wysokość ostrosłupa)
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}\)
jeśli ramiona tego trapezu przedłużymy w górę do przecięcia się, otrzymamy trójkąt równoramienny, którego wysokość (zarazem wysokość ostrosłupa przed ścięciem
\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}\)
objętość ostrosłupa ściętego
\(\displaystyle{ V=\frac13a^2H-\frac13b^2(H-h)=\frac13a^2\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha-\frac13b^2\left(\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha-\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha\right)}\)
\(\displaystyle{ \red V=\frac{\sqrt2}{6}\tg\alpha(a^3-b^3)}\)
kąt między ścianą a podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ tg\beta=\frac{h}{\frac{a-b}{2}}=\frac{2\cdot\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}{a-b}=\sqrt2 tg\alpha\ \ \green \Rightarrow \red\ \ \beta=arctg(\sqrt2 tg\alpha)}\)
Ramiona są pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), więc wysokość trapezu (a zarazem wysokość ostrosłupa)
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}\)
jeśli ramiona tego trapezu przedłużymy w górę do przecięcia się, otrzymamy trójkąt równoramienny, którego wysokość (zarazem wysokość ostrosłupa przed ścięciem
\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}\)
objętość ostrosłupa ściętego
\(\displaystyle{ V=\frac13a^2H-\frac13b^2(H-h)=\frac13a^2\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha-\frac13b^2\left(\frac{a\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha-\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha\right)}\)
\(\displaystyle{ \red V=\frac{\sqrt2}{6}\tg\alpha(a^3-b^3)}\)
kąt między ścianą a podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ tg\beta=\frac{h}{\frac{a-b}{2}}=\frac{2\cdot\frac{a\sqrt2-b\sqrt2}{2}\cdot tg\alpha}{a-b}=\sqrt2 tg\alpha\ \ \green \Rightarrow \red\ \ \beta=arctg(\sqrt2 tg\alpha)}\)