Ostrosłup i płaszczyzna.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(\displaystyle{ h}\) tworzącej z krawędzią boczną kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta < 90}\). Oblicz pole przekroju, przyjmując, że jest mniejszym pierwiastkiem równania:
\(\displaystyle{ 5 \cdot {n \choose 3} = {n + 2 \choose 4}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{4}{5}}\)
Proszę o pomoc i pozdrawiam.

[piasek101]

Równanie rozwiązałeś ?

[edit] Ale co jest tym mniejszym ?

[dawid.barracuda]

Z polecenia rozumiem, że tym mniejszym pierwiastkiem jest pole przekroju ostrosłupa. Nie wiem za bardzo jak to równanie sprytnie rozwiązać.

[piasek101]

No to po co ta cała treść - jeśli masz znaleźć przekrój z tego równania ?

Jak go zrobić ?
Rozpisz symbole Newtona i poskracaj (albo pytaj).

[anna_]

25211.htm

przyjmując, że h jest mniejszym pierwiastkiem równania:

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue 5 \cdot {n \choose 3} = {n + 2 \choose 4}\ \ \ \ \ \ \sin \alpha = \frac{12}{13}\ \ \ \ \ \ \cos \beta = \frac{4}{5}}\)

przekrój ostrosłupa przez przekątną podstawy , wysokość \(\displaystyle{ h}\) i krawędź boczną \(\displaystyle{ AS}\)



\(\displaystyle{ \delta=\alpha+(90^o-\beta)}\) (kąt zewnętrzny \(\displaystyle{ \Delta SEF}\)) \(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \delta=90^o+\alpha-\beta}\)

\(\displaystyle{ \blue\gamma=90^o-\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\sqrt2}{2}a}{h}=tg\alpha \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \blue a=\sqrt2h\,tg\alpha}\)

wysokość trójkąta przekroju, którego pole mamy policzyć \(\displaystyle{ h_p}\)
z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta FEA}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_p}{\sin\gamma}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}a}{\sin\delta} \ \ \green \Rightarrow \black\ \ h_p=\frac{\frac{\sqrt2}{2}a\,\sin\gamma}{\sin\delta}=\frac{h\,tg\alpha\cdot\sin(90^o-\alpha)}{\sin(90^o+\alpha-\beta)}=\frac{h\,tg\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos(\alpha-\beta)} \ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \blue h_p=\frac{h\,\sin\alpha}{\cos(\alpha-\beta)}}\)

pole przekroju
\(\displaystyle{ P=\frac12\cdot \sqrt2a\cdot h_p=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2h\,tg\alpha\cdot\frac{h\,\sin\alpha}{\cos(\alpha-\beta)} \ \ \green \Rightarrow \blue\ \ P=h^2\cdot\frac{tg\alpha\,\sin\alpha}{\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta}}\)

\(\displaystyle{ 5 \cdot {n \choose 3} = {n + 2 \choose 4} \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \frac{5\cdot n!}{3!\cdot(n-3)!}=\frac{(n+2)!}{4!\cdot(n+2-4)!} \ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \frac{5\cdot (n-2)(n-1)n}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{24} \ \ \green \Rightarrow \black\ \ 20(n-2)=(n+1)(n+2) \ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ 20n-40=n^2+3n+2 \ \ \green \Rightarrow \black\ \ n^2-17n+42=0 \ \ \green \Rightarrow \black\ \ n=3\ \ \vee\ \ n=14 \ \ \green \Rightarrow \red h=3}\)

\(\displaystyle{ \blue \sin \alpha = \frac{12}{13}\ \ \to \ \ \cos\alpha=\frac{5}{13}\\ \cos \beta = \frac{4}{5}\ \ \to\ \ \sin\beta=\frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ P=3^2\cdot\frac{\left( \frac{12}{13}\right)^2 }{\frac{5}{13}\cdot\left(\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{5}+\frac{12}{13}\cdot \frac{3}{5}\right)} \ \ \green \Rightarrow \black\ \ \red\ P=23\frac{1}{7}}\)

[dawid.barracuda]

Super, dziękuję uprzejmie za pomoc Pozdrawiam.