W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) boki mają długość: \(\displaystyle{ |AB|=60}\), \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=50}\). Odcinek \(\displaystyle{ AD}\) jest prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ (ABC)}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ D}\) od prostej \(\displaystyle{ BC}\) jest równa \(\displaystyle{ 52}\). Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ D}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\)
Hmm? Ogólnie zadanie nie wyróżnia się specjalnie poziomem trudności, jednak... "Odległość punktu \(\displaystyle{ D}\) od prostej \(\displaystyle{ BC}\)" nie wiem jak to rozumieć, przecież ten trójkąt nie jest prostokątny, więc w każdy punkt tego odcinka będzie się różnił odległością od tego punktu? Z góry dzięki za odpowiedzi
Odległość punktu od płaszczyzny
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Odległość punktu od płaszczyzny
Trójkąty \(\displaystyle{ BAD, CAD}\) są prostokątne.
Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie spodkiem wysokości w trójkącie \(\displaystyle{ BCD}\) opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ |DE|=52}\), a szukamy \(\displaystyle{ |AD|}\).
Niech \(\displaystyle{ x=|AD|, y=|BE|}\). Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+|AB|^2=|BD|^2=y^2+|DE|^2 \\ x^2+|AC|^2=|CD|^2=(|BC|-y)^2+|DE|^2\end{cases}}\), tj. \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+|AB|^2=y^2+|DE|^2 \\ x^2+|AC|^2=(|BC|-y)^2+|DE|^2\end{cases}}\). Wystarczy z otrzymanego układu wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\).
Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie spodkiem wysokości w trójkącie \(\displaystyle{ BCD}\) opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ |DE|=52}\), a szukamy \(\displaystyle{ |AD|}\).
Niech \(\displaystyle{ x=|AD|, y=|BE|}\). Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+|AB|^2=|BD|^2=y^2+|DE|^2 \\ x^2+|AC|^2=|CD|^2=(|BC|-y)^2+|DE|^2\end{cases}}\), tj. \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+|AB|^2=y^2+|DE|^2 \\ x^2+|AC|^2=(|BC|-y)^2+|DE|^2\end{cases}}\). Wystarczy z otrzymanego układu wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\).