Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami

[seppe]

Z dwóch przeciwległych wierzchołków prostokąta o polu P, będącego podstawą prostopadłościanu o wysokości 1, wystawiono po dwie przekątne sąsiednich ścian bocznych. Wyrazić cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami utworzonymi przez te pary przekątnych jako funkcję sinusa kąta między nimi. Sporządzić rysunki.

Nie wiem jak się do tego zabrać, nie wiem jak powinno to wyglądać na rysunku

[anna_]

Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami.gif (1.8 MiB) Przejrzano 1579 razy

Wydaje mi się, że chodzi o kąt między tymi kolorowymi trójkątami.

[bb314]

\(\displaystyle{ \alpha\ \ -}\) kąt między przekątnymi ścian przy wierzchołku podstawy
\(\displaystyle{ \beta\ \ -}\) kąt między płaszczyznami wyznaczonymi przez przekątne ścian

nie dałam rady wyeliminować ze wzoru boków podstawy

\(\displaystyle{ \blue \cos\beta=\frac{(a^2+b^2)h^2-a^2b^2}{(a^2+b^2)h^2+a^2b^2}}\)

\(\displaystyle{ \red \cos\beta=\frac{\sin^2\alpha-2a^2b^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \red \cos\beta=\frac{\sin^2\alpha-2a^2b^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha-2P^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}}\)

[Grzegorz t]

Czy ktoś mógłby zaznaczyć na rysunku kąt beta między płaszczyznami wyznaczonymi przez przekątne ścian bocznych?

[anna_]

Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami2.png (11.98 KiB) Przejrzano 1439 razy

Zdaje się, że to ten kąt.
\(\displaystyle{ AE}\) wysokość trójkąta \(\displaystyle{ AB'D'}\)
\(\displaystyle{ EF}\) odcinek równoległy do wysokości trójkąta \(\displaystyle{ D'CB'}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\)

[seppe]

Czy mógłby ktoś wyjaśnić skąd wziął się ten wzór?

[bb314]

Opieram się na rysunku, który powyżej zamieściła anna_

\(\displaystyle{ \triangle AB'D'}\) ma boki \(\displaystyle{ AD'=\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ AB'=\sqrt{b^2+h^2}\ \ i\ \ B'D'=\sqrt{a^2+b^2}}\)
pole tego trójkąta
\(\displaystyle{ \begin{cases} P=\frac12\cdot AD'\cdot AB'\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}\cdot\sin\alpha \\ P=\frac12\cdot B'D'\cdot AE=\frac12\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot AE\end{cases} \ \ \green \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ AE=\sqrt{\frac{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{a^2+b^2}}\cdot\sin\alpha}\)

w \(\displaystyle{ \Delta AEA'\ \ \ \ \frac{h}{AE}=\sin\sphericalangle AEA'\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sin\sphericalangle AEA'=\frac{h\sqrt{a^2+b^2}}{\sin\alpha\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}}\)

kąt między kolorowymi trójkątami \(\displaystyle{ \beta=180^o-2(\sphericalangle AEA')\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \cos\beta=-\cos2(\sphericalangle AEA')}\)

\(\displaystyle{ \cos\beta=2\sin^2(\sphericalangle AEA')-1=2\cdot\frac{h^2(a^2+b^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}-1}\)

\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{2h^2(a^2+b^2)-\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}\)