Z dwóch przeciwległych wierzchołków prostokąta o polu P, będącego podstawą prostopadłościanu o wysokości 1, wystawiono po dwie przekątne sąsiednich ścian bocznych. Wyrazić cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami utworzonymi przez te pary przekątnych jako funkcję sinusa kąta między nimi. Sporządzić rysunki.
Nie wiem jak się do tego zabrać, nie wiem jak powinno to wyglądać na rysunku
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
\(\displaystyle{ \alpha\ \ -}\) kąt między przekątnymi ścian przy wierzchołku podstawy
\(\displaystyle{ \beta\ \ -}\) kąt między płaszczyznami wyznaczonymi przez przekątne ścian
nie dałam rady wyeliminować ze wzoru boków podstawy
\(\displaystyle{ \blue \cos\beta=\frac{(a^2+b^2)h^2-a^2b^2}{(a^2+b^2)h^2+a^2b^2}}\)
\(\displaystyle{ \red \cos\beta=\frac{\sin^2\alpha-2a^2b^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \beta\ \ -}\) kąt między płaszczyznami wyznaczonymi przez przekątne ścian
nie dałam rady wyeliminować ze wzoru boków podstawy
\(\displaystyle{ \blue \cos\beta=\frac{(a^2+b^2)h^2-a^2b^2}{(a^2+b^2)h^2+a^2b^2}}\)
\(\displaystyle{ \red \cos\beta=\frac{\sin^2\alpha-2a^2b^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
\(\displaystyle{ \red \cos\beta=\frac{\sin^2\alpha-2a^2b^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha-2P^2(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
Czy ktoś mógłby zaznaczyć na rysunku kąt beta między płaszczyznami wyznaczonymi przez przekątne ścian bocznych?
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
\(\displaystyle{ AE}\) wysokość trójkąta \(\displaystyle{ AB'D'}\)
\(\displaystyle{ EF}\) odcinek równoległy do wysokości trójkąta \(\displaystyle{ D'CB'}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\)
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
Czy mógłby ktoś wyjaśnić skąd wziął się ten wzór?
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Prostopadłościan i cosinus kąta pomiędzy płaszczyznami
Opieram się na rysunku, który powyżej zamieściła anna_
\(\displaystyle{ \triangle AB'D'}\) ma boki \(\displaystyle{ AD'=\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ AB'=\sqrt{b^2+h^2}\ \ i\ \ B'D'=\sqrt{a^2+b^2}}\)
pole tego trójkąta
\(\displaystyle{ \begin{cases} P=\frac12\cdot AD'\cdot AB'\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}\cdot\sin\alpha \\ P=\frac12\cdot B'D'\cdot AE=\frac12\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot AE\end{cases} \ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ AE=\sqrt{\frac{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{a^2+b^2}}\cdot\sin\alpha}\)
w \(\displaystyle{ \Delta AEA'\ \ \ \ \frac{h}{AE}=\sin\sphericalangle AEA'\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sin\sphericalangle AEA'=\frac{h\sqrt{a^2+b^2}}{\sin\alpha\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}}\)
kąt między kolorowymi trójkątami \(\displaystyle{ \beta=180^o-2(\sphericalangle AEA')\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \cos\beta=-\cos2(\sphericalangle AEA')}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta=2\sin^2(\sphericalangle AEA')-1=2\cdot\frac{h^2(a^2+b^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}-1}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{2h^2(a^2+b^2)-\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}\)
\(\displaystyle{ \triangle AB'D'}\) ma boki \(\displaystyle{ AD'=\sqrt{a^2+h^2},\ \ \ AB'=\sqrt{b^2+h^2}\ \ i\ \ B'D'=\sqrt{a^2+b^2}}\)
pole tego trójkąta
\(\displaystyle{ \begin{cases} P=\frac12\cdot AD'\cdot AB'\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}\cdot\sin\alpha \\ P=\frac12\cdot B'D'\cdot AE=\frac12\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot AE\end{cases} \ \ \green \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green \Rightarrow \black\ \ AE=\sqrt{\frac{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{a^2+b^2}}\cdot\sin\alpha}\)
w \(\displaystyle{ \Delta AEA'\ \ \ \ \frac{h}{AE}=\sin\sphericalangle AEA'\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ \sin\sphericalangle AEA'=\frac{h\sqrt{a^2+b^2}}{\sin\alpha\sqrt{(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}}\)
kąt między kolorowymi trójkątami \(\displaystyle{ \beta=180^o-2(\sphericalangle AEA')\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \cos\beta=-\cos2(\sphericalangle AEA')}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta=2\sin^2(\sphericalangle AEA')-1=2\cdot\frac{h^2(a^2+b^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}-1}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{2h^2(a^2+b^2)-\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}{\sin^2\alpha(a^2+h^2)(b^2+h^2)}}\)