Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa.

[Avanast]

1. Oblicz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, w którym wysokość ( ostrosłupa ), jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy.

2. Wyznacz objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości a, zaś jedna z krawędzi bocznych długości b, nachylona jest do przyległych do niej krawędzi pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\)

[wujomaro]

1.

ostrosłu H=3a.png (10.03 KiB) Przejrzano 4360 razy

Szukamy cosinusa kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
\(\displaystyle{ |EB|=|EC|}\)
Zastosuj tw. Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ DOS}\), a następnie dla \(\displaystyle{ ADS}\). Następnie podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ AEB \ \text{i} \ ADS}\).
\(\displaystyle{ \cos \alpha}\) wyznaczysz z tw. cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BEC}\).

[Pancernik]

1.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie krawędzi a
\(\displaystyle{ y}\) - wysokość ściany bocznej o podstawie krawędzi b
\(\displaystyle{ P_s}\) - pole ściany bocznej

\(\displaystyle{ a=x\\
H=3x}\)

\(\displaystyle{ h_p= \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ b^2=H^2+\left( \frac{2}{3} h_p\right)^2\\
b^2=9x^2+\left( \frac{x \sqrt{3} }{3}\right)^2\\
b^2=9x^2+ \frac{x^2 }{3}\\
b^2= \frac{28 }{3}x^2\\
b= \frac{2x\sqrt{21}}{3}}\)

\(\displaystyle{ h_b^2=b^2-\left( \frac{a}{2}\right)^2 \\
h_b^2=\left( \frac{2x\sqrt{21}}{3}\right) ^2-\left( \frac{x}{2}\right)^2 \\
h_b^2=\frac{28 }{3}x^2-\frac{x^2}{4} \\
h_b^2=\frac{28 }{3}x^2-\frac{x^2}{4} \\
h_b^2=\frac{109 }{12}x^2\\
h_b=\frac{\sqrt{109} x }{\sqrt{12}}\\
h_b=\frac{\sqrt{327}}{6}x}\)

\(\displaystyle{ P_s= \frac{1}{2} ah_b\\
P_s= \frac{1}{2} by\\
\frac{1}{2} ah_b=\frac{1}{2} by\\
ah_b=by\\
x \cdot \frac{\sqrt{327}}{6}x=\frac{2x\sqrt{21}}{3} \cdot y\\
y=\frac{\sqrt{327}}{6}x^2\cdot \frac{3}{2x\sqrt{21}} \\
y=\frac{\sqrt{109}x }{4 \sqrt{7} }\\
y=\frac{x \sqrt{763} }{28 }}\)

\(\displaystyle{ a^2=y^2+y^2-2y \cdot y\cos\alpha\\
a^2=2y^2-2y^2\cos\alpha\\
\cos\alpha=1- \frac{a^2}{2y^2}\\
\cos\alpha=1- \frac{x^2}{2\left( \frac{x \sqrt{763} }{28 }\right) ^2}\\
\cos\alpha=1- \frac{1}{ \frac{109}{56}}\\
\cos\alpha=1- \frac{56}{109}\\
\cos\alpha= \frac{53}{109}}\)