Jakie powinny byc boki...jesli...

[nice88]

Jakie powinny byc dlugosci bokow prostokata o obwodzie 60zm , aby objetosc walca otzrymanego w wyniku obrotu tego prostokata wokol jednego z bokow byla najwieksza

prosze o pomoc w rozw. i wytlumaczenie

[wb]

x, y - długości boków prostokata, który obracając dookoła boku y daje walec o promieniu podstawy x oraz wysokości y.

\(\displaystyle{ 2x+2y=60 \\ x+y=30 \\ y=30-x \\ \\ \\ V=V(x)=\pi x^2y=\pi x^2(30-x)=\pi (30x^2-x^3) \\ \\ \\ V'(x)=\pi (60x-3x^2)=0 \\ x(60-3x)=0 \\ x=20 \ \ \ \ , \ \ y=30-20=10}\)

Uzasadnieniem , że dla wyznaczonych x, y , funkcja osiąga maksimum jest układ znaków pochodnej.

[Gasho]

proste zadanie na pochodną:)

skoro obwod jest równy 60 to suma dwóch boków będzie wynosiła 30 więc:
\(\displaystyle{ x+y=30}\)
y bedzie bokiem ktory jest rownoczesnie osią obrotu tak więc objetosc walca wynosi:
\(\displaystyle{ V=\Pi x^{2}y}\)
wyznaczamy y z pierwszego równania i wchodzimy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\Pi x^{2}(30-x)}\)
\(\displaystyle{ V= -\Pi x^{3}+30 \Pi x^{2}}\)
treaz liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ V'= -3\Pi x^{2}+60 \Pi x}\)
\(\displaystyle{ V'= -x^{2}+20x}\)
\(\displaystyle{ V'= -x(x-20)}\)

z tego równanie bierzemy miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=20}\)

z uwagi ze x nie moze byc rowny 0 jedynym dobrym rozwiazaniem jest 20
sprawdzamy tylko jaka nastepuje zmiana znakow i wychodzi nam ze bedzie to maksimum:)
tak wiec:
x=20
y=10

Edit:
o kurde:) jak pislaem ktos mnie uprzedzil:)