prostopadłościan i walec

[Asimo]

1. Dane jest pudełko w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej, bez wieczka. Powierzchnia całkowita pudełka wynosi P. Jakie powinno mieć wymiary by jego objętość była
największa.
2. Znaleźć stosunek R/H promienia podstawy do wysokości walca, mającego przy danej objętości
V najmniejszą powierzchnię całkowitą

W zadaniu 1 doszedłem do tego momentu i nie potrafie obliczyć wartości a dla której V(a) jest największe. Pomocy.

V(a)=\(\displaystyle{ a^2h}\)=\(\displaystyle{ a^2 \cdot \frac{P-a^2}{4a}}\)=\(\displaystyle{ -\frac{1}{4}a^3+ \frac{P}{4}a}\)

W zadaniu 2 nie potrafię natomiast obliczyć wartości R dla której Pc(R) osiąga minimum

\(\displaystyle{ P_c(R)}\)=\(\displaystyle{ 2 \pi R (R+\frac{V}{\pi R^2})}\)

[anna_]

Pochodne były?

[Asimo]

właśnie są w trakcie i jeszcze nie do końca przyswojone

[anna_]

Według mnie bez pochodnych nie da się rozwiązać tych zadań.

[Asimo]

no ale z czego mam te pochodne wyliczyć?-- 24 sty 2013, o 18:39 --w 1 będzie \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a^2+ \frac{P}{4}}\) przynajmniej tak mi się wydaje, ale nadal nie wiem co mi to daje w zadaniu.
Jeśli chodzi o drugie to z czego tą pochodną wyliczyć?

[anna_]

1.
Pochodna jest policzona dobrze.
\(\displaystyle{ V'(a)=-\frac{3}{4}a^2+ \frac{P}{4}}\)
rozwiązujesz równanie:
\(\displaystyle{ V'(a)=0}\)

\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a^2+ \frac{P}{4}=0}\)
(\(\displaystyle{ a>0}\))
Dla otrzymanej wartości \(\displaystyle{ a}\) objętość będzie największa.

2.
Opuśc nawias i policz pochodną ze względu na \(\displaystyle{ R}\)

[Asimo]

W zadaniu 1 wyszło mi a=\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{P}{3}}}\) natomiast h=P-\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), ale nie wiem czy dobrze są obliczenia. Policzenie a i h jest odpowiedzią do zadania?

W zadaniu 2 pochodna wyszła mi Pc'(R)= 4 \(\displaystyle{ \pi}\)R + \(\displaystyle{ \frac{2V}{R}}\), jednak jej też nie jestem pewien, ale zakładając że jest poprawnie obliczona to i tak stoję w miejscu bo nie wiem co dalej liczyć

[anna_]

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ a=\sqrt{\frac{P}{3}}= \frac{ \sqrt{3P} }{3}}\)
Policz jeszcze raz \(\displaystyle{ h}\) bo masz błąd

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ P_c(R)=2 \pi R (R+\frac{V}{\pi R^2})=2\pi R^2+ \frac{2V}{R} =2\pi R^2+ 2VR^{-1}}\)

\(\displaystyle{ P'_c(R)=(2\pi R^2+ 2VR^{-1})'=4\pi R-2VR^{-2}=\frac{2(2\pi R^3 - V)}{R^2}}\)

\(\displaystyle{ P'_c(R)=0}\)

rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \frac{2(2\pi R^3 - V)}{R^2}=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2\pi R^3 - V=0}\)

[Asimo]

W zadaniu 1 po ponownym przeliczeniu i podstawieniu prawidłowego a wyszło mi h=P-\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3}P ^{ \frac{3}{2} } }{36P}}\)
Jeśli a i h są prawidłowo policzone to koniec zadania? Czy jeszcze coś pozostaje do obliczenia?
W zadaniu 2 po przeliczeniu R= \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}\)

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ h=\frac{P-a^2}{4a}\\
h=\frac{P-\left( \sqrt{\frac{P}{3}}\right) ^2}{4 \cdot \sqrt{\frac{P}{3}}}\\
h=\frac{P-\frac{P}{3}}{4 \cdot \frac{ \sqrt{3P} }{3}}\\
h=\frac{\frac{2P}{3}}{4 \cdot \frac{ \sqrt{3P} }{3}}\\\\
h=\frac{P}{2\sqrt{3P} }\\
h=\frac{ \sqrt{3P} }{6}}\)

koniec zadania

2.
\(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }}\)
\(\displaystyle{ H=\frac{V}{\pi R^2}}\)

liczysz jeszcze \(\displaystyle{ H}\), potem
\(\displaystyle{ \frac{R}{H}}\)

[Asimo]

\(\displaystyle{ \frac{R}{H}}\) = \(\displaystyle{ \frac{R ^{2} }{2} ( \frac{ \pi }{V} ) ^{- \frac{1}{3} }}\)

Dobrze wyszło bo nie jestem co do tego w pełni przekonany.

[anna_]

2.
Najpierw miałeś policzyć \(\displaystyle{ H}\)

\(\displaystyle{ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{V}{\pi \left( \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }\right) ^2}= \frac{ \sqrt[3]{4V} } { \sqrt[3]{\pi} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{R}{H}= \frac{ \frac{ \sqrt[3]{V} }{ \sqrt[3]{2 \pi} }}{\frac{ \sqrt[3]{4V} } { \sqrt[3]{\pi} }}= \frac{1}{2}}\)

Dziwny wynik.
Nie jestem pewna czy gdzieś nie ma błędu.